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1、【学习目标】1. 了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程；2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解复数相等的充要条件;3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则，了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义在不同数集中运算法则的联系和区别.【知识网络】注意复数的概念复数与复数的分类 蛊数相等的充要条件 共铤复数復数的模复数的加法法则.R (a + 6i) + (c + Ji) = (at + d) i.复数加袪的几何意义复数的运算【要点梳理】复数的减法法则(fi + ti) - (c + Ji) = (n -c) + (i -
2、d) i复数减法的几何意义复数的乘法法则 a吟加）（亡*的）=（a -加）+ （屁+ ad） i复数的除法法则一需笄糾舒判+切要点一：复数的基本知识1、虚数单位i ,规定它的平方等于-1,即-1.i可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2、形如a bi （ a,bR）的数叫做复数，记作：a bi（ a,bR）；当b=0时，z是实数a ；当b丰0时，z叫做虚数；当a=0且0时，z = bi叫做纯虚数.（a = c3、 两个复数相等的充要条件：若a,b,c,dR 则a + bi=c + di= 2，lb = d .4、复数的几何意义：复数z=a+bi 对 J 复平面内的点
3、Z(a,b)弋一一对应平面向量OZ5、复数的模：设OZ = a bi ( a, b ：= R )，则向量OZ的长度叫做复数 z = a bi的模，记作| a bi |.即 |z|=|OZ卜 a2 b2 _0.要点诠释：(1) i的周期性：如果4n /n N，则有：i =1 4n*1.4n2i =i, i(2)复数a bi的共轭复数,记为z 二 a - bi ；(3)z z = (a bi) (a-bi)二a2 - b2=z|2要点二：复数的运算设乙=a bi , z2 二 c di ( a, b, c, dR)，则:Zi Z2 = (a bi) (c di) = (a c) (b d)iz2=
4、 (c _a) (d -b)iz1 z2 = (a bi)(c di) = (ac _bd) (bc ad)iz-! _ a bi _ (a bi )(c -di) Z2 c di (c di)(c -di)ac bd be -ad . 亠i2.22 .2 1c d c d要点诠释：(1)设3= -1 _ 3i，则32 2时2，时3n = 1,灼3n十=灼(n N +)等;复数求解计算时，要灵活利用i、3的性质,或适当变形，创造条件，从而转化为关于计算问题.21 +i比如(1 _i)2 = _2i ；i ;1 -i1 -i二 i1 i(3)作复数除法运算时，有如下技巧:a bib -ai(a
5、bi)a bi. a bi(b -ai )i【典型例题】 类型一：复数的概念及运算例1.化简下列式子:4(: 2)5;(2)?3_i .技 20101 2、3i 1-i-5.4【解析】(1) (25(M3i)524(1i)4(-2)524(2i)225= 2,1-2、迈1 +2府 匕-i丿 (-23i)i201020051005(1 2、3i)i(-2i)1二 i i i =2i._(-2、3 i) 1 -i-2、3【总结升华】灵活利用i)2及- 2的特点进行计算举一反三：【变式1 i是虚数单位，计算i i2 i3D. i-( )A.-lB. 1C. -i【答案A【变式2 复数 i(2等于(
6、)1 -2iA.iB. -iC. 1D. -1【答案D【解析i(2 i )-12( Ti2 )(1i 2 fi (2 丄11 - 21- 2(1 i2 )% 1 2 )5【变式3 已知复数z =1 i ,则-z =z【答案-2i例 2.已知Z1=a2-3(a 5)i ,z a -1 (a221)i (a R)分别对应向量0Z1,OZ2(O 为原 点)，若向量Z2Z1所对应的复数为纯虚数，求 a的值.I【解析】设向量乙乙对应的复数为z.Z2 乙=O Z_ O Z2 2z = Zi -互=a -3 (a 5)i -a -1 (a 2a -1)i二(a2 -3) -(a -1) (a 5) -(a2
7、 2a -1)i2 2=(a _a _2) ( -a -a 6)i . z为纯虚数,. 2a -a -2 = 0, 2-a -a 6 严0,【总结升华】讨论复数z为实数、虚数、纯虚数、非纯虚数应从定义入手.举一反三：【变式1】设Z2 =召-iz1 (其中Z1表示Z1的共轭复数)，已知z的实部是-1,则Z2的虚部为【答案】1【解析】Z1 = X y,i Z2 = -1 bi , (x, y,b R)-1 b i = x y i -( i x- )y(x -y) (y -x) i由复数相等得 b = y-x - -(x-y)=1 .【变式2】 设a, b为实数，若复数1 2i=1 i，则(a bi
8、3 11A. a , bB. a = 3, b = l C.= a = 2 22【答案】【解析】1 21 =1 i= 1 2i =(1 i)(a bi) a bi=1 2i3；a-b=1,ia_二(a -b) (a b)i = +b =22b= 12故选A.类型二：复数的几何意义“3D. a= 1, b = 3例3.已知复数Z1 -1 2i , z -2 i , Z3 = -1 -2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【解析】设复数 z,、z2、z3所对应的点分别为 A、B、C,正方形的第四个点 D对应的复数为x yi (x, y R),(x
9、yi) -(1 2i) =(x -1) (y -2)i ,BC=OC-OB对应的复数为（2i(x-i) y即 x， y _2 = _3,解得x = 2,ly = 1点D对应的复数为2-i.求点D对应的复数，也可利用原点O恰好【总结升华】本题主要考查复数的几何意义利用 是正方形 ABCD的中心来解.举一反三：【变式】已知复平面上的.ABCD 中,BD对应的复数为-4+6i，求向量DA对AC对应的复数为6+8i,应的复数.【答案】如图所示，ABCD中，设对角线 AC BD的交点为E,则点E为AC BD的中点，由复数加减法的几何意义可得11111-DA=EA-ED= CA- BD AC- BD (A
10、C BD)222221所以DA对应的复数为(6 8i -4 6i) = 1 - 7i ,所以向量DA对应的复数为-1 - 7i .3.例4.复数z=（1 T）（a_bi）且|Z|=4 , z对应的点在第一象限，若复数1 -i0, z, z对应的点是正三角形的三个顶点，求实数 a, b的值.【解析】z 二LiL22(a . bi) =2Ji(a bi) = -2a -2bi .1 -i2 2由 |z|=4，得 a b = 4 .复数0, z, z对应的点是正三角形的三个顶点,|Z - Z卜 |z.|把z二-2z -2bi代入上式化简得| b| = 1.又z对应的点在第一象限.av 0, bv 0
11、.由得a = -3,b - -1,故所求值为a = - . 3, b = -1 .【总结升华】要确定实数 a, b的值，需列出含a, b的两个方程条件|z| = 4易使用；对于正三角形这个条件，使用方法较多，本题转化为边长相等，即|z|=|z|=|z-z| .举一反三:【变式1】复数z =在复平面上对应的点位于1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】 A【解析】 z21+i1-i2复数z在复平面内的对应点为f1，丄|,在第一象限.故选 A.2 2的点是（）【变式2】若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数A. E B. F C. G D. H【答案】
12、D【解析】由题中图示可知z = 3 i ,类型三：复数与方程=2 - i，再结合题中图示知点H表示2-i，故选D.2例5.已知2+ai, b+i是实系数一元二次方程 x px = 0的两根，求p， q.A. p= - 4, q= 5 B. p = 4, q= 5C. p= 4, q = - 5 D. p= - 4,【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数来解题.2【解析】因为2+ai, b+i)是实系数一元二次方程 x px 0的两个根,所以2+ai与b+i互为共轭复数，所以 a= -1, b = 2,2所以实系数一元二次方程x px 0的两个根是2 i,所以 p = -( 2+i)+(2-i) = -4, q= (2+i)( 2-i) = 5.【总结升华】本题考查实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数的特点， 举一反三：【变式】在复数集中解方程x2 x 0.-5以及根与系数的关系.【答案】;.：=b2 -4ac =1 -4 - -3 ： 0,b 二- i2 一2a原方程的根为1 3. i .2 2例6.已知Z
