工科高等数学教学大纲

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1、高等数学（工科类）教学大纲一、课程名称：高等数学（工科）二、课程代码：MATH20010三、课程英文名称：Calculus四、课程负责人：五、学时和学分： 176学时，9学分六、课程性质：必修课七、适用专业：机械、动力、资环等八、先修课程：初等数学九 后修课程：线性代数，概率统计十、使用教材：张良才，李江涛等主编高等数学（上、下），2014。十一、参考书目：l 同济大学数学系主编。高等数学M. 高等教育出版社，2007十二、开课单位：重庆大学数学系十三课程描述（100-200字左右）：在各类基础课程当中，大学数学有着十分重要的地位。当今科技发展的一个重要趋势，就是各门学科内容的数学化。不管哪个

2、门类的专业人才，都离不开数学能力和数学素质的培养，而社会对理工科院校不同专业的学生数学素质的要求呈多元化、多层次的趋势：既需要能较快接受新知识、并将数学应用于本专业的工程技术型人才，又需要能进行深入理论研究和高新技术开发的科学研究型人才，且理工科大学生的学习目标又常以专业为导向，这就使得对数学水平的要求有了进一步的分化，高等数学(工科)就是为适应这种需要，专门为工科类专业学生开设的一门重要基础课，通过本课程的学习使学生了解微积分的背景思想，较系统地掌握微积分的基础知识、必需的基本理论和常用的运算技能，了解基本的数学建模方法，为学生学习后继数学课程、专业课程及分析解决实际问题奠定良好的基础。十四

3、、教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献）以优化教学内容为基础，以丰富教学资源为抓手，以改革教学措施为突破，实施分门别类教学，理论联系实际，凸显工科专业需求，以提高学生兴趣与能力为目标。具体内容见下表知识贡献及参考学时 教学环节能力和素质贡献1、函数 教学内容 函数概念、函数的几种特性、基本初等函数。 复合函数、初等函数、函数模型的建立。 目的要求（1） 掌握函数的概念及特性，掌握基本初等函数。（2）了解分段函数，理解复合函数概念。（3）会建立常见实际问题的函数模型。重点难点 重点：函数概念、基本初等函数。难点：函数模型的建立。教法建议及说明（1） 以函数的两个要素为主，阐明函数概念，

4、使学生了解函数的三种表达形式。（2）引导学生复习基本初等函数及其特性，做好初等数学与高等数学的街接。（3） 通过实例引入复合函数与分段函数概念，加强复合函数复合与分解（以分解为主）练习，明确复合函数构成的条件。掌握分段函数的对应规则。（4）通过函数模型的建立，使学生了解数学建模的基本过程及意义。能力贡献：1、归纳总结的能力；2、演绎推理的能力；3、提出问题、分析问题、解决问题的能力；2、极限与连续 教学内容 函数的极限，数列的极限，极限的性质，无穷小量与无穷大量。极限的运算法则，两个重要极限，无穷小比较。函数连续概念，初等函数连续性，闭区间上连续函数性质。 目的要求（1）理解函数的极限和左、右

5、极限的描述性定义，了解两个极限存在准则。理解无穷小、无穷大概念与性质及其相互关系。（2）掌握极限的四则运算法则，会用两个重要极限求极限，会对无穷小进行比较。（3） 理解函数连续概念，会判断间断点类型，了解初等函数的连续性，会用函数的连续性求初等函数的极限，了解闭区间上连续函数的性质。 重点难点 重点：极限概念及极限运算；连续概念与初等函数连续性。难点：极限概念。教法建议及说明（1） 通过简单例子，对照图形变化趋势，概括出函数极限的描述性概念。根据学生接受情况以“无限接近，无限趋近”“充分接近，任意小”-“定义”三过程逐步抽象概括出极限的分析定义，加深学生对极限概念的理解。 （2） 结合函数的几

6、何特征直观解释极限的存在定理及性质。讨论分段函数在分段点处的极限存在问题。 （3）重视极限与无穷小的关系及其在极限运算法则等定理证明中的作用。 （4）要强调指出极限运算法则的成立条件，突出运算法则在求有理分式与无理分式极限方面的应用。 （5） 指明两个重要极限的特征及求解未定式极限的类型。 （6）结合函数的几何图形讲清函数连续概念的两种定义形式及函数在一点连续的三个条件，通过图形直观说明间断点类型和判别条件。 （7） 会利用复合函数及初等函数连续性求函数极限。 （8）闭区间上连续函数性质采用几何图形直观说明。4、抽象的能力；5、联想的能力；6、学习新知识的能力；7、创新的能力；8、准确计算的能

7、力；9、口头和书面表达的能力；10、灵活应用数学软件的能力。素质贡献：1、主动探索并善于抓住问题中的背景和本质的素质；2、善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化与量化，建立数学模型的素质； 3、以数学方式理性思维，从多角度探寻解决问题的道路的素质； 4、具有良好的科学态度和创新精神，能合理提出数学猜想、数学概念的素质；5、熟练运用准确、严格、简练的数学语言表达自己的数学思想的素质。3、一元函数微分学 教学内容 导数概念及其几何意义，变化率举例，可导与连续关系，求导举例。 函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数求导法则，反函数求导法则，初等函数求导公式。 隐函数的导数，由参数方程确定函数的

8、导数，对数求导法，高阶导数。 微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，微分在近似计算中的应用。中值定理与洛必达法则，函数的单调性。函数的极值，函数的最值，曲率。 函数的凹凸性与拐点，曲线的渐近线，函数图形的描绘。一元函数微分学在经济上的应用。 目的要求 （1）掌握导数的概念，了解导数的几何意义，会用导数描述一些实际问题的变化率。 （2） 掌握导数的运算法则和基本公式。 （3） 掌握隐函数、由参数方程确定的函数的导数及对数求导法，了解高阶导数概念，会求二阶导数及简单函数阶导数。（4） 掌握微分概念及微分运算法则，会用微分作简单的近似计算。（5）了解中值定理，会用洛必达法则求未定式的极限，掌握函

9、数单调性的判别方法。 （6）理解函数极值概念，掌握求函数极值与最值的方法，会求简单实际问题的最值，*了解曲率概念及计算。 （7）会判别函数图形的凹凸性与拐点，会求曲线的渐近线，会描绘简单函数的图形。 重点难点 重点：导数概念，复合函数求导法则，微分概念。拉格朗日定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，最值应用。 难点：复合函数求导法，一阶微分形式不变性。最值应用，函数图形描绘。教法建议及说明 （1） 通过物理、几何问题的分析讨论，作两方面的概括：（1）局部范围的不变代变（均匀代非均匀），（2）数学结构为平均变化率的极限，以此抽象出导数的定义。 （2） 对复合函数求导，注意分析函数结构，

10、“由表及里，逐层求导”，教学中可采取两步走：第一步，写出中间变量，将复合函数分解为基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算所得到的关系式，再应用法则求导。第二步，中间变量在每一步求导过程中体现，由表及里，逐层求导。 （3） 在隐函数的求导及对数求导法中要以复合函数求导法为依据展开，要提醒学生对中间变量求导后不要丢掉因子。（4）微分概念中要突出线性代替的思想，把握微分定义中函数增量的结构特征。微分形式不变性是求导的简便方法，使学生能够应用此方法灵活地求导数。（5） 中值定理只作几何解释，明确中值定理的条件是充分的而非必要的。 （6）要强调洛必达法则使用的条件，应用洛必达法则求极限时应注意的事项。

11、 （7）在讲授函数单调性、极值、凹凸性、拐点时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。 （8）加强函数模型的训练，掌握一元函数优化数学模型方法，给出一两个典型优化模型问题，培养学生数学建模能力。（9）通过函数图形的描绘，加强学生综合运用导数研究函数特征的训练。4、一元函数积分学 教学内容 原函数与不定积分的概念，基本积分公式，不定积分性质。 第一换元积分法，第二换元积分法。 分部积分法，简单有理函数的积分，积分表的使用。定积分概念，定积分的几何意义，定积分的性质。变上限的定积分，牛顿莱布尼茨公式。定积分的换元法，定积分的分部积分法。无穷区间上的广义积

12、分，被积函数有无穷间断点的广义积分。定积分应用的微元法，用定积分求平面图形的面积，用定积分求体积，用定积分求平面曲线弧长。定积分在物理中的应用（功，压力，转动惯量），定积分在经济中的应用。 目的要求 （1）了解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的性质，掌握不定积分基本公式。 （2）掌握不定积分两类换元积分法。（3）掌握不定积分分部积分法，会求简单有理函数的积分，会查积分表。（4）理解定积分的概念及其几何意义，理解定积分的性质。 （5） 掌握牛顿莱布尼茨公式，会求变上限函数的导数。 （6） 掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 （7）了解两类广义积分的概念及计算。（8）掌握定积分应用的微元法，

13、会用定积分的微元法求几何问题。 （9）会用定积分的微元法求物理问题及一些简单实际问题。 重点难点重点：不定积分概念，换元法，分部积分法。定积分的概念，变上限积分函数及其导数，牛顿莱布尼茨公式。用“微元法”确定所求量的“微元”，平面图形的面积。难点：换元积分法。变上限积分函数及其导数。用微元法将问题归结为定积分问题。教法建议及说明 （1） 注意引导学生熟记基本积分表和积分类型，掌握不定积分与导数关系。 （2）两类换元积分法中以第一类换元法（凑微分法）为重点，先通过简单的例子说明凑微分法使用的基本过程及所求积分的被积函数的特征为复合函数，通过练习逐步概括出常见的一般类型。第二换元积法以三角代换为主

14、，把握三种常见的三角代换求积分方法。 （3）分部积分法以幂函数（多项式）与基本初等函数乘积的积分求解为重点。 （4）积分法的教学要突出基本方法的掌握，练习中要举一反三，多作练习，但不宜要求过高的技巧，注重把握三种积分的特点。 （5） 定积分概念注意从实际问题入手，作两方面的概括：（）整体分割和局部范围不变代变。（）数学结构上四步法“分割取近似求和取极限”，表述形式为特定形式乘积的无限积累，尤其是“部分近似”与定积分表达式中的被积式的对应关系。 （6）注意导数概念的局部性和积分概念的整体性，明确定积分与原函数，定积分与不定积分的内在联系。 （7）从变上限定积分值也在变，逐步引进变上限积分函数，初

15、步了解变上限复合函数的求导。 （8）讲清定积分换元法与不定积分换元法的区别在于“换元要换限，上限对上限，下限对下限”及变量代换的条件。要了解奇偶函数在对称区间上积分性质。 （9）讲清两类广义积分定义中的两个共同特点：缩小区间化为定积分，再取极限化为原区间上的积分。要求学生注意瑕积分与定积分表述形式的类似但积分概念的不同。 （10）明确可用定积分表述量的特征是具有可加性的非均匀分布的整体量，微元与部分量之间的关系是相差一个高阶无穷小。 （11） 平面图形面积的计算以直角坐标为重点，能用微元法或公式计算平面图形面积、旋转体体积、平行截面的面积已知的立体的体积，平面曲线的弧长可以略讲。 （12）物理应用中，写出所求量的微元，要使学生明白其中每一因素的物理意义。 （13）给出一两个没讨论的定积分应用问题，以