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1、2006年广州市卡西欧杯高二数学竞赛试卷题 号一二三合 计（11）（12）（13）（14）（15）得 分评卷员考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 不准使用计算器； 考试用时120分钟，全卷满分150分。一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内（1）是椭圆的焦点，在上满足的点的个数为（ ） (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个（2）已知实数集合A满足条件：若，则，则集合中所有元素的乘积的值 为（ ） (A) (B) (C) (D) 与的取值有关（3）若的三边长、满足且，则它
2、 的最大内角的度数是（ ） (A) (B) (C) (D) （4）已知定点和抛物线，动点和分别在轴上和抛物线上，若 （其中O为坐标原点），则的最小值为（ ） (A) (B) (C) (D) 、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分把答案填在题中横线上（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在到人之间，颁奖 典礼上给获一等奖的学生照相按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等 奖的人数有 人 （6）若函数的图像经过点，试写 出两个满足上述条件的函数的解析式 、 （7）已知点在直线上，则的最小值 为 （8）正三棱锥中， 过点作平面分别交、于、，则的周长的最小值为 （9）现代
3、社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分 解，其中英文的、的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、 26这26个自然数，见表格：1234567891011121314151617181920212223242526 给出如下一个变换公式： 将明文转换成密文，如即变为；即变为 按上述规定，明文good的密文是 ，密文的明文是 （10）对一切实数，所有的二次函数的值均为非负实数， 则的最大值是 三、解答题：本大题共5小题，共90分要求写出解答过程（11）（本小题满分15分） 已知函数（为常数） （）求函数的最小正周期，并指出其单调减区间；（）若函数在上恰有两个的
4、值满足，试求实数的取值范 围（12）（本小题满分15分） 如图，点是矩形所在平面外一点且平面， （）求证：平面平面； （）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；APDCBE （）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为1若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 （13）（本小题满分20分） 如图，将一块直角三角形板放置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即POB）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角板锯成，设直线的斜率为 （）试用表示的面积，并指出的取值范围； （）试求的最大值ABMNPxyO（14）（本小题满分20分） 已知数列的各项均为正数，
5、且，当时，都有，记 （）试求数列的通项公式； （）证明：； （）令，试比较与的大小（15）（本小题满分20分） 设定义在上的函数，当时，取得极大值，并且函数的图象关于点对称 （）求的表达式；（）试在函数的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上； （）若， ，求证： 2006年广州市卡西欧杯高二数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分 （1） （2） （3） （4） 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分（5） （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。例如：， ， ， ， ， ， ，等等（7） （8）
6、（9）dhho， maths （10） 第（10）题参考解答： 设，则 依题意有，即，即 故 当且仅当 即时取等号三、解答题：本大题共5小题，满分90分（11）（本小题满分15分） 解：（） ， 最小正周期， 单调递减区间为 （）令，则， 要使在上恰有两个的值满足， 则 ，解得 （12）（本小题满分15分） 解法一：（）因平面，面，故面面因四边形是矩形，故 因面面，故面因面，故平面平面 （）取中点，连结、 因是的中点，故所以或它的补角是与所成的角 易得，故故与所成角的余弦值为 （）假设点存在，过点作于，因为面面，面面，ADBCQ21G所以面，即 如图，易知， 1 则 故存在一点，当时使点D到平
7、面PAQ的距离为1 解法二：（）同解法一（）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐 标系， ， ， QAPDCBExyz ， 由， 与所成角的余弦值为 10分（）假设存在点符合条件，则 ， 又设平面PAQ的法向量为， 由即取， 则是平面PAQ的一个法向量 由题意有，即，解得 故存在一点，当时使点D到平面PAQ的距离为1 （13）（本小题满分20分） 解：（）：，：，解得 ， 于是 ， 所以 易知 ， 故， （）， 所以当或时，取得极值 因为当时，故在上是减函数 所以当时，取得最大值 （14）（本小题满分20分） 解：（）当时，各式相加得，求得又当时，满足上式，故 （） （），当时，；当时，；当时，；猜想当时， 以下用数学归纳法证明:当时，左边右边，命题成立假设当时， ，即 当时， ，命题成立故当时，综上所述，当时，当时，当时， （15）（本小题满分20分） 解：（）因的图象关于点对称，故的图象关于原点对称故，易得，因为时，有极值，所以时，也有极值故 ，于是 又由得 ，由此解得 ， （）设这两个切点分别为，并且，依题意有 (*) 因且，故由(*)式得，即故，解得或同理可得或又因为当与同时成立时与(*)式矛盾，所以或故，或，即所求的两点为或 （），故当或时，；当时，所以的单调递增区间为和， 的单调递减区间为因，故即，故；因，故，故 故
