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1、 .线性代数知识点 归纳整理 诚毅学生 编01、余子式与代数余子式- 2 -02、主对角线- 2 -03、转置行列式- 2 -04、行列式的性质- 3 -05、计算行列式- 3 -06、矩阵中未写出的元素- 4 -07、几类特殊的方阵- 4 -08、矩阵的运算规则- 4 -09、矩阵多项式- 6 -10、对称矩阵- 6 -11、矩阵的分块- 6 -12、矩阵的初等变换- 6 -13、矩阵等价- 6 -14、初等矩阵- 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 7 -16、逆矩阵- 7 -17、充分性与必要性的证明题- 8 -18、伴随矩阵- 8 -19、矩阵的标准形：- 9 -20、矩阵的秩：
2、- 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论- 9 -22、线性方程组概念- 9 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 9 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 11 -25、线性方程组的向量形式- 11 -26、线性相关与线性无关的概念- 11 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 11 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系与其例题- 11 -29、线性表示与线性组合的概念- 11 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 12 -32、最大
3、线性无关组与向量组的秩- 12 -33、线性方程组解的结构- 12 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D，则元素，的余子式分别为：M11，M12，M13对M11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式，这个行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。元素，的代数余子式分别为：A11(1)11M11 ，A12(1)12M12 ，A13(1)13M13 . 对Aij的解释（i表示第i行，j表示第j列）：Aij(1)ij M ij .（N阶行列式以此类推）（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：M31，A31(-1)3+1（3）例题：课
4、本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题02、主对角线一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1, 2, 3n，即从左上到右下的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。03、转置行列式即元素与元素的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，与的位置对调、与的位置对调。04、行列式的性质详见课本P5-8（性质1.1.1 1.1.7）其中，性质1.1.7可以归纳为这个： （i表示第i行，k表示第k列）熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。 例题：作业P1第2题05、计算行列式（1）计算二阶行列式：方法（首选）：
5、（即，左上角右下角右上角左下角）方法： 例题：课本P14（2）计算三阶行列式： (1)11M11 (1)12M12 (1)13M13N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r是row，即行。c是column，即列）例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：D（主对角线上元素的乘积）例题：课本P10、作业P3第4小题有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式例题：课本P11（4）德蒙行列式：详见课本P12-
6、13（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全为1的一行，方便化简行列式。例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题06、矩阵中未写出的元素课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为007、几类特殊的方阵详见课本P30-32（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式（2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0（3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同（4）零矩阵：所有元素都为0，记作O（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En （其行列式的值为1）08、矩阵的运算规则（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型
7、，即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同；矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）：课本P32“AB”、“AB”加法交换律：ABBA加法结合律：A（BC）（AB）C（2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：数与矩阵的乘法：I.课本P33“kA”II.kn（因为k只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式）同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：描述：令左边的矩阵为，令右边的矩阵为，令计算得到的矩阵为，则A的值为：中第1行的每个元素分别乘以中第1列的每个元素，并将它们相加。即AB的值为：中第1行的每个元素分别乘以中第2列的每个元素，并将它们相加。即BC的值为：中第2行的每个元素分别乘以中
8、第1列的每个元素，并将它们相加。即CD的值为：中第2行的每个元素分别乘以中第2列的每个元素，并将它们相加。即D.描述：令左边的矩阵为，令右边的矩阵为，令计算得到的矩阵为，则A的值为：中第1行的每个元素分别乘以中第1列的每个元素，并将它们相加。即AB、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。数乘结合律：k（lA）（kl）A ，（kA）BA（kB）k（AB）数乘分配律：（kl）AkAlA ，k（AB）kAkB乘法结合律：（AB）CA（BC）乘法分配律：A（BC）ABAC ，（AB）CACBC需注意的：I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵II.课本P34例题数乘的消去律、交换
9、律不成立III.一般来讲，（AB）k A k B k，因为矩阵乘法不满足交换律IV.课本P40习题第2题：（AB）2不一定等于A22ABB2 ，（AB）2不一定等于A22ABB2，（AB）（AB）不一定等于A2B2 . 当ABBA时，以上三个等式均成立（3）矩阵的转置运算规律： (AT )TA(AB)TA TB T(kA)TkAT (AB)TB TAT (ABC)TCTB TAT (ABCD)TDTCTB TAT（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本P46）（5）例题：课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1大题、
10、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业P5第4大题09、矩阵多项式详见课本P 3610、对称矩阵（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）（2）同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵数 与 对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵11、矩阵的分块线代老师说这部分的容做了解即可。详见课本P38-4012、矩阵的初等变换三种行变换与三种列变换：详见课本P 42 例题：作业P6全部13、矩阵等价若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为AB14、初
11、等矩阵（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49（2）设A为mn矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.详见课本P50-51（3）课本P51第3大题15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元
12、素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题：课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题16、逆矩阵（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得ABBAE，则称方阵A是可逆的，并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A1，AA1E（3）n阶方阵A可逆的充要条件为0，并且，当A可逆时，A1（证明详见课本P54） 例题：课本P59第1大题（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）（5）性质：设A，B
13、都是n阶的可逆方阵，常数k0，那么 (A1)1AAT也可逆，并且(AT )-1(A-1)TkA也可逆，并且 (kA)-1A-1AB也可逆，并且(AB) -1B-1A-1AB不一定可逆，而且即使AB可逆，一般(AB)-1A-1B-1AA-1EAA-1E1 AA-11 A-1例题：课本P58例2.3.7、作业P7第1题（6）分块对角矩阵的可逆性：课本P57（7）由方阵等式求逆矩阵：课本P58例2.3.6（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=10可逆，所以初等矩阵可逆）（9）初等矩阵的逆矩阵
14、也是初等矩阵（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵（11）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：课本P67）（12）利用初等行变换求逆矩阵：A-1（例题：课本P68、课本P71）（13）形如AXB的矩阵方程，当方阵A可逆时，有A-1 AXA-1B，即XA-1B.此时有：矩阵方程的例题：课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题矩阵方程计算中易犯的错误：课本P56“注意不能写成”17、充分性与必要性的证明题（1）必要性：由结论推出条件（2）充分性：由条件推出结论例题：课本P41第8大题、作业P5第5大题18、伴随矩阵（1）定义：课本P52 定义2.3.2（2）设A为n阶方阵（n2），则AA*A*AEn（证明详见课本
