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1、高等数学教案第一章函数与极限第一章函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念， 掌握函数的表示方法， 并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、 单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念（含
2、左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；高等数学课1程建设组高等数学教案第一章函数与极限5、闭区间上连续函数性质的应用。1. 1映射与
3、函数一、集合1. 集合概念集合 (简称集 ):集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用 A,B,C .等表示 .元素 : 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合 M 的元素表示为 a M.集合的表示 :列举法 : 把集合的全体元素一一列举出来 .例如 A a, b, c, d, e, f, g.描述法 : 若集合 M 是由元素具有某种性质P 的元素 x 的全体所组成 , 则 M 可表示为A a , a , a ,12nM x | x 具有性质 P .例如 M ( x, y)| x, y 为实数 , x2y2 1.几个数集 :N 表示所有自然数构成的集合,称为自然数集 .N 0, 1, 2
4、, n,. N1, 2, n,.R 表示所有实数构成的集合,称为实数集 .Z 表示所有整数构成的集合,称为整数集 .Z ,n, 2,1, 0, 1, 2, n,.Q 表示所有有理数构成的集合,称为有理数集 .Q p | p Z , q N 且 p与 q互质 q子集 : 若 x A, 则必有 xB, 则称 A是B的子集 , 记为 AB(读作 A 包含于 B)或 B A .如果集合 A与集合 B互为子集 ,A B且 BA, 则称集合A与集合 B相等, 记作 A B.若AB且A B, 则称 A是B的真子集 , 记作AB. 例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集
5、.2. 集合的运算设 A、 B 是两个集合 , 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与 B 的并集(简称并 ), 记作 AB, 即AB x|xA 或 xB.高等数学课2程建设组高等数学教案第一章函数与极限设 A、 B 是两个集合 , 由所有既属于A 又属于 B 的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交 ), 记作 AB, 即A B x|x A 且 x B.设 A、 B 是两个集合 , 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差 ), 记作 A B, 即A B x|xA 且 xB.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行 , 所研究的其他集合A都是
6、I的子集 . 此时 , 我们称集合I 为全集或基本集 .称 IA为 A 的余集或补集 , 记作 AC.集合运算的法则 :设 A、 B、 C 为任意三个集合 , 则(1)交换律 AB BA, ABB A;(2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)C A(BC);(3)分配律 (AB)C(AC)(B C), (AB)C(AC) (BC);(4)对偶律 (AB)CACBC, (A B)CACBC.(AB)C ACBC 的证明 :x ( A B)Cx A B x A 且 x Bx A C 且 x BCx ACBC, 所以 (A B)C ACBC.直积 (笛卡儿乘积 ):设 A、B 是任意两个集合,
7、 在集合 A 中任意取一个元素x, 在集合 B 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A 与集合B的直积, 记为A B, 即A B ( x, y)|xA 且 yB.例如 , R R( x, y)| xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合, R R 常记作 R 2.3. 区间和邻域有限区间 :设 ab, 称数集 x|axb 为开区间 , 记为 (a, b), 即(a, b) x|axb.类似地有a, b x | ax b 称为闭区间 ,a, b) x | a xb 、 (a, b x | ax b 称为半开区间.其中 a
8、 和 b 称为区间 (a, b)、a, b 、a, b)、(a, b的端点 , b a 称为区间的长度.无限区间 :高等数学课3程建设组高等数学教案第一章函数与极限a,) x | a x , (, bx | x b , (,) x | | x | .区间在数轴上的表示:邻域 : 以点 a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域 , 记作 U (a).设 是一正数 , 则称开区间 (a, a)为点 a 的 邻域 , 记作 U (a,), 即U( a,) x | a x a x | | x a| .其中点 a 称为邻域的中心,称为邻域的半径.去心邻域 U (a,):U (a,) x |0| x a |
9、 二、映射1. 映射的概念定义 设 X、 Y 是两个非空集合 , 如果存在一个法则 f, 使得对 X 中每个元素 x, 按法则 f, 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射 , 记作f : XY ,其中 y 称为元素x(在映射 f 下) 的像 , 并记作 f(x), 即y f(x),而元素 x 称为元素y(在映射 f 下 )的一个原像 ; 集合 X 称为映射f 的定义域 , 记作 D f, 即D f X ;X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域 , 记为 R f, 或 f(X), 即R f f(X) f( x)|xX.需要注意的问题:(1)
10、构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合 X, 即定义域 D f X; 集合 Y, 即值域的范围 : R f Y; 对应法则 f, 使对每个 x X, 有唯一确定的 y f(x)与之对应 .(2) 对每个 x X, 元素 x 的像 y 是唯一的 ; 而对每个 y R f , 元素 y 的原像不一定是唯一的 ; 映射 f 的值域 R f 是 Y 的一个子集 , 即 R f Y, 不一定 R f Y .高等数学课4程建设组高等数学教案第一章函数与极限例 1 设 f : RR, 对每个 xR, f(x) x2.显然 , f 是一个映射 , f 的定义域 D f R, 值域 R f y|y 0,它是
11、R 的一个真子集. 对于 Rf中的元素y, 除 y 0 外 , 它的原像不是唯一的. 如 y 4 的原像就有x 2 和 x2 两个 .例 2 设 X ( x, y)|x2 y2 1, Y ( x, 0)|x| 1, f : XY, 对每个 ( x, y)X, 有唯一确定的(x,0)Y 与之对应 .显然 f 是一个映射 , f 的定义域 D f X, 值域 R fY. 在几何上 , 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间 1, 1 上 .(3) f : , 1, 1, 对每个 x , , f(x) sin x .2222f 是一个映射 , 定义域 D f , , 值域 R f 1, 1.22满射、单射和双射 :设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射 , 若 R fY, 即 Y中任一元素 y 都是 X 中某元素的像 , 则称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射 ; 若对 X 中任意两个不同元素 x 1 x 2, 它们的像 f(x 1)f(x 2), 则称 f 为 X 到 Y 的单射 ; 若映射 f 既是单射 ,又是满射 , 则称 f 为一一映射 (或双射 ).上述三例各是什么映射？2.
