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1、现代控制理论讲义 第1章 控制系统的状态空间模型Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型 在经典控制理论中，采用阶微分方程作为对控制系统输入量和输出量之间的时域描述，或者在零初始条件下，对阶微分方程进行Laplace变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量和输出量之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。 现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
2、系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1（例1.1.1） 如下面（电路）系统。试以电压为输入，以电容上的电压为输出变量，列写其状态空间表达式。 例1-1图 RLC电路图解：由电路理论可知，他们满足如下关系经典控制理论：消去变量，得到关于的阶微分方程：对上述方程进行Laplace变换：得到传递函数：，现代控制理论：选择流过电容的电流和电容上的电压作为2个状态变量，（2个储能元件）；1个输入为，；1个输出，。向量完全描述了电路的内部状态，电路的动态过程，由状态变量的初始值和外
3、部输入唯一确定，输出。由于 可列写出矩阵形式的状态方程如下。 ，系统在任一时刻的状态可以用右图“状态空间”中的一个点例如来描述。状态：动态系统的状态，是指能完全描述系统时域行为的一组相互独立的变量组（给定变量组的初始值和输入函数，就能完全确定输出，。状态向量：系统有个状态变量，用这个状态变量作为分量所构成的向量（通常以列向量表示）称为系统的状态向量：状态空间：以状态变量为坐标轴所组成的维空间，称为状态空间状态空间的每一个点均代表系统的某一特定状态。系统在时的各瞬时状态在状态空间中构成一条轨线。* 也可以从方程 出发选择 ，这正是传递函数的特征方程！选取作为电路输出量，则状态空间模型的输出方程为
4、。 由此可见，一个系统的状态变量的选取不是唯一的，相应的状态空间模型也是不同的，这使得可以通过适当选取状态变量，使系统的状态空间模型具有特殊的结构（能控标准型、能观标准型、对角型、约当型等），从而极大的方便控制系统的分析与设计。系统分类：由已知输入信息获得输出信息，例如各种比例放大器；由已知输入信息获得输出信息，例如各种动态系统。1.1.2 状态空间模型的一般形式 以状态空间模型描述系统行为的方法和传递函数不同，它把输入对输出的影响分成两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，由一阶向量微分方程（状态方程）来描述；第二段是系统内部状态变化引起系统输出的变化，用一个代数方程（输出方程，也
5、称观测方程）来描述。本教材使用维输入，维输出。状态变量图1-1状态向量：，角标只表示将“竖式”写成“横式”；输入向量：，输出向量：矩阵转置运算：； “行矩阵”的转置等于分别转置后的“列矩阵”；“列矩阵”的转置等于分别转置后的“行矩阵”；利用矩阵的转置运算可将“列矩阵”表达为“行矩阵”形式。对线性时变系统，上式可写成如下规范形式： ，对线性定常系统，可进一步写成如下规范形式：，物理意义：系数矩阵，描述状态量本身对状态量变化的影响； 输入（控制）矩阵，描述输入量对状态量变化的影响； 输出矩阵，描述状态量对输出量变化的影响； 直接转移矩阵，描述输入量对输出量变化的直接影响； 实际中，很少有输入量直接
6、传递到输出端，因而常常，故线性定常系统可用表示。 系统的输出量和状态变量是两个不同的概念，输出量是人们希望从系统外部能测量到的某些信息，它们可能是状态分量中的一部分，也可以是一些状态分量和控制量的线性组合；而状态变量则是完全描述系统动态行为的一组量，在许多实际系统中往往难以直接从外部测量得到，甚至根本就不是物理量。如何恰当选择输出量，要根据需要来决定，但其数量不会超过状态分量的个数。例1-2（例1.1.2）：如下面弹簧质量（机械）系统。忽略摩擦力，试以受力、受力为输入，以质量的偏离平衡位置的位移、质量偏离平衡位置的位移为输出变量，列写其状态空间表达式。例1-2图 弹簧-质量系统P11解：两个质
7、量块，储存动能，三个弹簧，储存势能，共5个储能元件，但由于两端固定，三个弹簧只有两个是“自由的”，故只有4个状态变量。令状态变量为，向量可完全描述系统的内部状态；可列写出矩阵形式的状态方程和输出方程如下。,该系统为输入、输出，状态系统。例1-3（例1.1.4）：液位系统模型如图所示（化工机械系统）。在化工过程中，常常需要将液位保持在一定高度上。稳态时，两水箱单位时间流入量和流出量均为。蓄水池1的横截面积为，液面高度为，阀1的阻抗为；水箱2的横截面积为，液面高度为，阀2的阻抗为。如果第一个水箱的输入量变化，引起水箱1液位变化，流出量变化，进一步引起水箱2液位变化，流出量变化。指定水箱2的流出量变
8、化为被控量（输出），求出该系统的数学模型。例1-4图 液位系统解：阀1流出量的变化与两水箱液位变化之差成正比，与阻抗为成反比：，同理，。根据流体力学定律，应有：体积增量=流入流出 输出方程：建立状态空间模型的小结：（1）选择系统中储能元件的输出量作为状态变量（有几个储能元件就有几个状态变量），然后根据系统的结构用物理定律写出状态方程；（2）选择系统输出及其各阶导数作为状态变量（有几阶导数就有几个状态变量）；（3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。由此，我们可以总结和比较经典控制和现代控制的特征：经典控制现代控制线性特征线性非线性时变特征定常（时不变）时变参数特征集中性、确定性
9、参数分散性、不确定性参数变量特征单变量多变量要解决的核心问题稳定性最优控制主要分支线性系统、最优控制、系统辨识自适应控制1.2 传递函数与状态空间模型的转换状态空间模型的图示法：绘制状态空间结构图(1)积分器的数目等于状态变量数，画在相应的位置；(2)每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，并注明相应状态变量的编号；(3)根据状态方程和输出方程画出加法器、比例器,用箭头把这些元件连接起来。K积分器 加法器 比例器图1-2 基本元件符号图1-3为一阶系统的状态结构图。图1-3 一阶系统 的状态结构图图1-4为多输入多输出系统状态结构图。图1-4 多输入、多输出系统状态结构图 1.2.1 由传递函
10、数导出状态空间模型 一个系统既可以用传递函数来描述，也可以用状态空间模型来描述。在经典理论中，可以在不精确了解系统内部机理的情况下用试验的方法来确定系统的传递函数，有了传递函数，就可以通过适当选取系统内部的状态变量来建立相应的状态空间模型，这个过程称为系统传递函数的状态空间实现。状态空间实现不是惟一的，但都应保持输入-输出关系不变，即都能实现传递函数。单输入、单输出线性定常系统传递函数的一般形式为： （1-1）若，则通过长除法，传递函数总可以转化成，是某个适当的常数。 图1-5 等效并联结构图例如：这相当于将系统分解成两个环节的并联，由图可知，相当于直接转移矩阵。以下常常只考虑的情况。例1-4
11、（例1.2.1）考虑分子多项式为1的3阶系统的传递函数，其表示为：解：对应的微分方程为： 选择系统输出及其各阶导数作为状态变量（有几阶导数就有几个状态变量），可以将经典传递函数表示为状态空间的“能控标准型”：即 ， 例1-4 结构图例1-5（例1.2.2）再考虑一般分子多项式的3阶系统的传递函数，其表示为：解：此时，例1-5 结构图同理，可推广到 于是，可以利用传递函数极点多项式的系数和零点多项式的系数（注意顺序！）写出它的一个状态空间实现为： 这表明，输入信号能对系统的每一个状态进行控制，故称其为能控标准型。其矩阵分别记为，为阶单位矩阵，这种形式的阵称为友阵。能控标准型特点：系统状态方程的系
12、数阵和输入阵具有上述形式，输出阵形式任意。这个公式很重要！我们在例1-6中要用它来直接写出每个环节的状态方程和输出方程。特例1 ， 特例2 另外适当选择变量，也可以利用传递函数极点多项式的系数和零点多项式的系数将经典传递函数表示为状态空间的“能观标准型”实现。 其矩阵分别记为图1-6 能观标准型结构图能观标准型特点：系统状态方程的系数阵和输出阵具有上述形式，输入阵形式任意。显然，这种互为转置的关系称为对偶关系。在处理一些复杂系统的建模问题时，通常将复杂系统分解成若干个环节的串联、并联、反馈并联等，对各个环节写出他们的状态空间实现，经过整理后得到整个系统的状态空间实现，这种分解思想在处理一些复杂
13、系统的建模时是非常有用的。串联法 串联法的思想是将一个阶传递函数分解成若干个低阶传递函数的乘积，然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。例1-6（例1.2.3）求传递函数的状态空间实现。解：将所给的传递函数分解成“相乘”形式系统可以看成3个一阶环节的串联 例1-6系统串联分解图 依每个环节的分母多项式列写状态方程，依分子多项式列写输出方程，可分别写出每个一阶环节的状态空间模型如下： 由于以上3个子系统是串联的，因此有，将这些关系代入到上式中，经整理可得 即 ，相应的状态变量图为（上面这根线反映直接传递）例1-6串联结构的状态变量图并联法 并联法的思
14、想是将一个复杂传递函数分解成若干个低阶传递函数的和，然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用并联关系写出原来系统的状态空间模型。例1-7用“并联法”求上题传递函数状态空间实现。解：传递函数特征方程的根相异，分别为，可以将所给的传递函数分解成如下“相加”形式系统可以看成3个一阶环节的并联，可分别写出每个一阶环节的状态空间模型 由于以上3个子系统是并联的，因此有，将这些关系代入到上式中，经整理可得 即，或者：， 对于这种由并联环节构成的系统，其状态空间中的状态矩阵具有对角型结构。并联组合而成的系统，各个状态分量之间没有任何耦合，称为状态空间的解耦模型或对角模型。对角标准型SISO（单输入、单输出）线性定常系统对角标准型实现若SISO线性定常系统传递函数特征方程的所有极点相异（无重特征值）且满足 此时，适当选择变量，可将经典传递函数表示为状态空间的“对角标准型”，系统的传递
