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1、 1 第3讲圆锥曲线中的热点问题考情解读(1)本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题,试题难度较大(2)求轨迹方程也是高考的热点与重点,若在客观题中出现通常用定义法,若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法,往往出现在解答题的第(1)问中(理用的内容)1直线与圆锥曲线的位置关系(理用的内容)(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法:将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程若0,则直线与椭圆相交;若0,则直线与椭圆相切;若0时,直线与双曲线相交;当0时,直线与双曲线相切;当b
2、0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2y24的直径l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程思维启迪(1)P点是椭圆上顶点,圆C2的直径等于椭圆长轴长;(2)设直线l1的斜率为k,将ABD的面积表示为关于k的函数解(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为ykx1.又圆C2:x2y24,故点O到直线l1的距离d,所以|AB|22.又l2l1,故直线l2的方
3、程为xkyk0.由消去y,整理得(4k2)x28kx0,故x0.所以|PD|.设ABD的面积为S,则S|AB|PD|,所以S,当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.已知椭圆C的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆的离心率为,且椭圆经过点P(1,)(1)求椭圆C的标准方程;(2)线段PQ是椭圆过点F2的弦,且,求PF1Q内切圆面积最大时实数的值解(1)e,P(1,)满足1,又a2b2c2,a24,b23,椭圆标准方程为1.(2)显然直线PQ不与x轴重合,当直线PQ与x轴垂直时,|PQ|3,|F1F2|2,SPF1Q3;当直线PQ不与x轴垂直时,设直线PQ:yk(x1),k0代入椭圆C的标
4、准方程,整理,得(34k2)y26ky9k20,0,y1y2,y1y2.SPF1Q|F1F2|y1y2|12,令t34k2,t3,k2,SPF1Q3,00.由根与系数的关系得,x1x2,x1x2,x轴是PBQ的角平分线,即y1(x21)y2(x11)0,(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0,2kx1x2(bk)(x1x2)2b0将代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0,kb,此时0,直线l的方程为yk(x1),即直线l过定点(1,0)思维升华(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是
5、非常关键的(2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:yy0k(xx0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:ykxm,则直线必过定点(0,m)已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线x28y的焦点(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(2,3),Q(2,3)在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足APQBPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由解(1)设椭圆C的方程为1(ab0),则b2.由,a2c2b2,得a4,椭圆C的方程为1.(2)当APQBPQ时,PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为k
6、,PA的直线方程为y3k(x2),由整理得(34k2)x28(32k)kx4(32k)2480,x12,同理PB的直线方程为y3k(x2),可得x22.x1x2,x1x2,kAB,直线AB的斜率为定值.热点三圆锥曲线中的探索性问题例3已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录于下表中:x324y204(1)求C1,C2的标准方程;(2)是否存在直线l满足条件:过C2的焦点F;与C1交于不同的两点M,N,且满足?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由解(1)设抛物线C2:y22px(p0),则有2p(x0),据此验证四个
7、点知(3,2),(4,4)在C2上,易求得C2的标准方程为y24x.设椭圆C1:1(ab0),把点(2,0),(,)代入得,解得,所以C1的标准方程为y21.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时,不满足题意当直线l的斜率存在时,设其方程为yk(x1),与C1的交点为M(x1,y1),N(x2,y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0,于是x1x2,x1x2.所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k21.由,即0,得x1x2y1y20.(*)将代入(*)式,得0,解得k2,所以存在直线l满足条件,且直线l的方程为2xy20或2xy20.如图,抛物线C:y22px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2)(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数,使得k1k2k3成立,若存在,求出的值;若不存在,说明理由解(1)把Q(1,2)代入y22px,得2p4,所以抛物线方程为y24x,准线l的方程:x1.(2)由条件可设直线AB的方程