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1、基于二阶方阵的特殊n阶方阵幕的计算公式梁永博，孙文豪，魏东，周传伟（教育实验学院，电子信息类，13级）摘要关键词矩阵幕特征多项式零化多项式引言一般情况下，矩阵幕的计算是比较繁琐的，高等代数教 科书上通常介绍了两种方法。一是当矩阵可对角化时，即存 在对角矩阵D和可逆矩阵P使A=P-1DP时，有An=P-1DnP。 二是利用若尔当标准形的方法。上述两种方法的一个显著特 点是将矩阵分解成几个矩阵的乘积，从而给计算带来方便。 对此我们很容易产生这样的想法：将矩阵分解成两个矩阵的 和也会带来方便，进一步思考，不难看出，若矩阵A有分解:A=B+C，且 BC=CB=0，则有 An=Bn+Cn。当 Bn ，
2、Cn 易 算时，这就是一种简便的方法。接下来便是从较特殊的矩阵开始寻找这样的分解。主要定理的证明2阶矩阵非常简单，特别是它的特征多项式X （九）是2次A的，能分解成一次因式的乘积（兀）=（九-a）（九-0），其中a，0是A的特征值。由哈密顿-凯莱定理可得x （A） = （A-aE）（A-0E） = 0，其中E是单位矩阵。让我们讨论能否利用（1）式来解决下 面的问题呢？问题1设2阶矩阵A的特征值为a和0,求矩阵A的幂 An的计算公式。由问题1可见，对2阶矩阵，我们的想法能够实现，而当 矩阵A的阶大于2,且A有三个不同的特征值时，上述推导 过程不宜推广。当A的不同的特征值至多有两个，且存在2 次零
3、化多项式时，上述推导过程完全适用，因而所得结果与 2阶矩阵时相同。下面我们讨论问题2： 问题2求下列三阶矩阵的A与A n：-1-26_一 3-32 一1)A =-1032)A =-15-2-1-14-130【问题1】由（1）式知,(A -aE)(A - 0E)=(A - 0E)(A - aE)=0下面利用A-aE和A-0E来寻求A的和式分解。当 a邙 时，设 B=a (A-aE),C=b(A-0E),使得 A=B+C.那么 只要如下选取a, b即可：Pb aa=市b=邛不难发现，(A pE )2 = A pE() = 。+ an ( AP)a -pAaEAaEP-a ) = P-a 5A -
4、aE、An=0n(p -aa n - p n 人 aA - _n P - P nd从而B2= 0B,C2= aC,于是Ea - pa - p当 a=0 时，由(1)式得，(A-aE)2=0,故(A-aE)k =0(k2),又因 A=aE + (A - aE),从而An = anE + nan-1(A - aE).【问题2】一 11)-2A的特征多项式X （九）=九+12-61 九-311 九-4=(九1)3由于（A E）2 = O，故An = E + (A E) n = E + n (A E) = nA (n 1) E2)A的特征多项式九-3X (九)=113九-5-3-22 =(九2)20 4)九由于(A 2E)(A 4 E) = O,故An = 4 A-(4n + 2n+1) E2
