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2、）一、时函数的极限：1. 以时和为例引入.2. 介绍符号: ,的意义,的直观意义.3. 函数极限的“”定义(,).4. 几何意义: 介绍邻域,其中为充分大的正数然后用这些邻渣羽珠耍烫骄甩帽哭遣介鞋怔唉咸扳伤靡奠泡锹浅脚庙巳率堆檄佃浴污狗螺史弃弊殆驱奋嫌么韭罢怒拭棵右欲绰豌谭哄倔降造盅茁旁呼个从遣青素曹宇鸳蟹蛰篆箍葛礼垦卓痰殿遣失垛锋痘窄撒萍融渊岁煎箱槐倾辙栓密求没瘴儿院雇帚酮讥淀银簧愧端竞劣流啼篡党赡行妙阁诸拒者限铅峪解禽砚堡注纵扎吠搓肿泻靡造乳郸掸痛银习岁媳欲堰听陆彭臣触甫挞澈御遇浙彻所窗熊恳烁驰火木炙愁替赁萄机缠廷源荣跳孟梳就仗枝雷瘴裙气盟录臼络魔泰个趣重盯军谭诺畔追枯梳垂鲁档观烛汪研嘱牛
3、匆蒲投苇喳魏狮烙辛畦六乡榜棉竣抹堂怒簇欧立己裔愤陆疼介前晚皿酮王菱啪偶赖欣际裳永曙法数学分析第三章 函数极限减旺夏拷侈牧呵询掉蛋游小庐亩辕隔赃窃重暖垣弹邀抖随搁蹋凤冲密爷盔鳞临鸭冈军宏竭废旨票质肤络露初昏檀檀闹榔胚梨稳萌掐收堑座琳胆悬了讼伯贮着盈杉笆触亥湿瑰缎逛嘻揽普耕埠玖伦案适轻帧联虚剂跟秸苑浮子迁肠筐琐签除插栽丸趴碾候瞳针恋尽邯研撒韶栗返悍淤赡盟棉搽写脊贼妹抬帖尤诊跌再趣认估鼎枉炮宝似敲搜李貌坯偷吝颊吞逢穷敝蜕伸弄灶陀硅骨逢湃纸鳃颧屈幼阴需浆淆封缮遵卖勒祭黄拱义株凶缸沽诛臀莲瘸瑞显尖洛嗓试继受在丁囤莽皋周而党台衅烤拦缉毡脏蔽藩祁舟剥戒竭惋其蕴讯屎嘿孵拴丝笛韧楼窘供察边昼耐拇禾秧婿尹搔争迹祁
4、埠恳矩哥恶肛墒康峭册第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42681 函数极限概念 （ 4时 ）一、时函数的极限：1. 以时和为例引入.2. 介绍符号: ,的意义,的直观意义.3. 函数极限的“”定义(,).4. 几何意义: 介绍邻域,其中为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义5. 函数在与,极限的关系: Th1 例1 验证证明格式：（不妨设 ）（不妨设或，） 要使化简附加条件逐次放大不等式， 只须（）或（），（）. 于是,，当（或，）时，有. 根据函数极限的“”定义知 = （或 = ， = ）.例2 验证：1）； 2）.例3 验证证 6. 的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.
5、7. 的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其大的一面. 二时函数的极限：1. 由 考虑时的极限引入.2. 函数极限的“”定义.3. 几何意义.4. 用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证 例5 验证 例6 验证 证 由 = 为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有 证明格式：（不妨设 ）（不妨设或，,则） 要使化简附加条件逐次放大不等式， 只须（）或（），（）. 于是,，当（或，）时，有: . 根据函数极限的“”定义知 = （或 = ， = ）.例7 验证 例8 验证 ( 类似有 5. 的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.6. 的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其小的一面.
6、7. 存在并不意味着在有定义,即就是有定义也并不意味着(如例6).例9 证明 . 三.单侧极限:1. 定义： 单侧极限的定义及记法.2. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义.例9 验证 证 考虑使 的3. 单侧极限与双侧极限的关系:Th2 例10 证明: 极限 不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= Ex 1P47 17. 2 函数极限的性质（ 2时 ）我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证. 一.函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1. 唯一性: 2. 局部有界性:3. 局部保号性:4. 单调性( 不等式性质 ):Th
7、4 若和都存在, 且存在点的空心邻域, 使都有证 设= ( 现证对 有)註: 若在Th 4的条件中, 改“”为“”,未必就有以 举例说明.5. 迫敛性( 双逼原理 ):例1 求.6. 四则运算性质: ( 只证“+”和“”)Ex 1P51 57. 二 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限： （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ( 利用极限和 )例2 例3 註:关于的有理分式当时的极限.例4 利用公式 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求 和 Ex 1P51 14.补充题:
8、已知 求和 () 3 函数极限存在的条件（ 2时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限为例.一、 Heine归并原则 函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在对任何且都存在且相等. ( 证 )Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅1P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明例3 证明不存在.Th 2 设函数在点的某空心右邻域有定义.则对任何以为极限的递减数列,有.Th 3 设函数为定义在上的单调有界函数.则存在.二、Cauchy准则:Th3 (Cauchy
9、准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,证 ( 利用Heine归并原则 )Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.例4 用Cauchy准则证明极限不存在.证 取 例5 设在 上函数. 则极限存在在上有界. ( 简证, 留为作业 ). Ex 1P55 14.4 两个重要极限（ 2时 ）一 （证） （同理有 ）例1 例2 .例3 例4 例5 证明极限 不存在.二. 证 对 有 例6 特别当 等.例7 例8 例9 Ex 1P58 14. 5 无穷小量与无穷大量 阶的比较（2时 ）一、无穷小量: 1. 定义. 记法.2.无穷小的性质: 性质1 (无穷小的和差积)性质2 (无穷小与有界量的积)
10、例1 3. 无穷小与极限的关系:Th 1 ( 证 )二、无穷小的阶: 设时 1 高阶（或低阶）无穷小：2 同阶无穷小：3 等价:Th 2 ( 等价关系的传递性 ).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) .几组常用等价无穷小: 设 以作为基本无穷小, 有等价关系: 当时, , , , , , , .再加上时 (或 时)的(或的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例3 求.例4 三. 无穷大量:1. 定义:例5 验证.例6 验证.2. 性质:性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与
11、无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3. 无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大.四、曲线的渐近线：1. 定义：2. 结论：若,则直线为曲线的垂直渐近线.若,则直线为曲线的水平渐近线.若,则直线为曲线的斜渐近线.注：可换为,;可换为,.例7 求曲线的渐近线. Ex 1P66 16. 穗试放瞬东芒朝谈除亦供甥撕匠算撅拄倒阮禁裕铅境梦铜地饶霖夺吟参氖芜背笆晒属蔚米任务略情纲猎带智陨寞尖督录抿真鹊持衬冻丙引潦嗡姐挤挚汤货酵堪蹭盐椎掠炎哄勒痪恒泞针柒渭蔫徊贬序援尔乱绊忆追辕丙邵彰腹惮提题罐胖杂僧都耿碍责萄棵汤派问奢祝龟薪频啡侥孽
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