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1、 1 1专题五 解析几何第3讲 圆锥曲线的综合问题一、选择题1(20xx韶关模拟)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与直线x3y10垂直，则双曲线的离心率等于()A. B. C. D.解析：由于双曲线的一条渐近线与直线x3y10垂直，则双曲线的渐近线方程为y3x，可得3，可得b29a2，即c2a29a2.c210a2，故离心率为e.答案：C2(20xx衡水模拟)已知椭圆1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为()A3 B4 C5 D15解析：在椭圆中，由a5，b4，得c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(3，0)由椭圆的定
2、义得|PB|PC|10，|PA|PB|10|PA|PC|，|PA|PC|AC|5，当点P，A，C三点共线时，|PA|PB|取得最大值15.答案：D3已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，.又c2a2b2，所以综上可得a28，b26.答案：A4(20xx湖南师大附中月考)设双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与抛
3、物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的离心率e的取值范围是()A. B(，)C(1，) D.解析：双曲线C：1的一条渐近线为yx，联立消去y，得x2x.由x01，知1，b2a2.e22，因此1e.答案：C5已知椭圆1(0b0，b0)矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_解析：由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.2|AB|3|BC|，6c，2b23ac.，则2(e21)3e.又e1，解得e2.答案：29(20xx安徽安庆二模)已知抛物线C：x28y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F
4、的直线与圆Q切于点P，则的最小值为_解析：如图，|2|21.由抛物线的定义知：|d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，|min2，的最小值为3.答案：3三、解答题10(20xx珠海调研)如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(导学号 55460138)(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值(1)解：由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，椭圆的方程为y21.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2
5、)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.因此，直线AP与AQ的斜率之和为定值2.11(20xx全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点(导学号 55460139)(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解：(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在
6、点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，点P(0，a)符合题意12(20xx佛山质检)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1
7、，F2，以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上(导学号 55460140)(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值解：(1)由题意知2a4，则a2.又，a2c2b2，可得b1，椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)y1，又1，即1，2，即2.设A (x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.(*)则有x1x2，x1x2.|x1x2|.直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，OAB的面积S|m|x1x2|2.设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)(*)可知0t1，因此S22，故S2.当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由知，ABQ的面积为3S，ABQ面积的最大值为6.
