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1、幼龟性别比与孵化温度模型幼龟性别比与孵化温度模型摘 要 本文通过对 3 批乌龟蛋孵化过程雄龟性别与温度之间数据的分析与处理，参照统计回归模型，建立幼龟性别比与孵化温度模型，并对模型进行了求解和推广。对于问题 (1), 以温度为自变量，孵化出的雄龟所占比例为因变量，因为因变量不是连续变量，回归分析不适用，而应建立logit模型。通过 Matlab 统计工具箱中的命令glmfit对 logit模型右端的关于温度线性函数进行相关参数求解，并得出该模型的拟合程度。拟合偏差为14.8629 ，建立的模型实用性不强，需对模型进行改进。在logit模型的右端加入自变量温度的二次项，重复以上过程，直到拟合程度
2、数值较小，与实际数据相差较小。当加入自变量温度的五次项时，误差为 1.9091 10 17 ，所建立的模型较为符合题目要求。 在已建立 logit 模型基础上，根据题目要求自变量的值为 0.5 ，将此值代入模型中，反解出温度的值为 27.6 ，即为雌雄比例1:1 的温度值。对于问题 (2) ，在问题 (1) 的模型基础上 , 建立 odds 函数模型， odds 是雄性乌龟的数目与雌性乌龟的数目的比，并将logit模型用 odds 函数表示。温度升高 1时，雄性乌龟的数目与雌性乌龟的数目比为一个指数函数， 随温度的升高，雄性比例也在不断提高，最后趋近于 1。该模型还可以推广到受乌龟蛋孵化过程温
3、度影响的因变量是多分类指标变量时，采用多分类logit 模型对模型进行求解，对研究乌龟蛋孵化过程具有重要的指导意义和实用价值。关键词统计回归模型 ;logit模型； odds 函数一、问题重述自然界中的生物有的有雌雄之分，有的生物则是雌雄同体，性别是由哪些因素决定的呢？不同的生物决定因素不同，人类的性别由x 染色体和 y 染色体决定的，而植物的性别决定因素更加复杂，植物的在同一多花上既有雄蕊也有雌蕊的则是雌雄同体，哺乳动物的性别决定因素与人类一样，都是由基因决定的，两栖类的动物如甲壳虫，乌龟的性别则受环境因素的影响，科学研究表明，决定幼龟性别的最关键的因素是乌龟蛋孵化时的温度。为了研究温度是如
4、何影响幼龟的雌雄比例，美国科学家对某一类乌龟的孵化过程作了实验。实验在5个不同的恒定温度下进行，每个温度下分别观察3 批乌龟蛋的孵化过程，得到数据如下：温度/乌龟蛋个数雄龟个数雌龟个数雄龟比例101910%27.28080%91811%.1107370%27.764266.7%86275%13130100%28.396366.7%87187.5%107370%28.495362.5%87277.8%1110190.9%29.9880100%990100%(1) 请根据数据建立幼龟性别比和孵化温度之间的 logit 模型，并求解出在孵化温度多大时，孵化出幼龟的性别比恰好为 1:1 。(2) 分析
5、温度每升高 1 , 幼龟的性别的变化情况。二、问题分析对于问题 (1), 以温度为自变量，孵化出的雄龟所占比例为因变量，随着温度的升高，若雄龟所占的比例呈线性增长趋势，则建立线性回归模型，因为因变量不是连续变量，回归分析不适用，而应建立logit模型，首先令logit模型的右端为关于温度线性函数，通过 Matlab 软件对相关参数进行求解，并得出该模型的拟合程度，若拟合程度数值较小，则说明拟合程度好，符合实际情况，否则，在 logit 模型的右端加入自变量温度的二次项，重复以上过程，直到拟合程度数值较小，与实际数据相差较小。在建立logit模型基础上，根据题目要求自变量的值为0.5 ，将此值代
6、入模型中，反解出温度的值，则为雌雄比例1:1 的温度值。对于问题 (2) ，在问题 (1) 的模型基础上 , 建立 odds 函数模型， odds 为时间发生的概率与不发生的概率之比，在该题中则是雄性乌龟的数目与雌性乌龟的数目的比，并将 logit 模型用 odds 模型表达，分析当温度升高一度时， odds 函数值的变化，则为雄性乌龟与雌性乌龟数目的比值变化。三、模型假设通过建立幼龟性别与孵化温度之间的 logit 模型来研究孵化温度对幼龟性别的影响，为了简化问题，现作出以下假设：(1) 这 15 批乌龟蛋都是独立选取的；(2) 不考虑日照，湿度，孵化时长等因素的影响；四、符号表示符号意义T
7、乌龟蛋孵化的温度C(T )雄龟的比例k乌龟蛋孵化时分成 k 组Ti第 i 组的温度ni第 i 组的乌龟蛋数目mi第 i 组的雄性乌龟数目odds(T )温度为 T 时，雄性比与雌性比的概率之比五、模型建立与求解通过对题目中数据的分析，表中数据已将被观察的乌龟蛋按温度分成了五组，并统计了每个温度下的雄幼龟的数目，及雄幼龟所占总数的比例，下面将根据数据建立乌龟性别与孵化温度之间的logit模型。5.1logit模型的建立为考察雄性乌龟的比例与温度的关系，首先根据题目中的表格数据用 Matlab 软件作出雄乌龟的比例对各温度的散点图，见图 1。图 1 雄龟比例对温度的散点图从图 1 可以看出，雄龟比
8、例随着温度的升高而增大， 为了寻求雄龟比例 C (T ) 与温度 T 之间的函数关系， 并注意到 C (T) 在0,1 区间取值，可以建立 logit 模型。e 01T(1)C(T )1T1 e 0(1) 式反函数写为C(T )1T(2)ln01 C(T)(2) 式左端可看作 C (T ) 的变换，记作 logit( C (T )lnC (T ) ，称为 logit模型1C(T )或 logistic回归模型。当 C (T) 在 0,1取值时， logit( C (T ) 取值为 (, ) 。5.2 模型的求解logit 模型是一种广义线性模型，可利用 Matlab 统计工具箱中的命令 glm
9、fit 求解。求解程序见附录中的程序 1，执行程序后得到 logit 模型中的参数 0 1 ，的最大似然估计值与它的标准差 ( 见表 1) ，拟合偏差为 14.8629 ，拟合偏差过大，所以可以考虑在模型 (2) 后加上 T 2， T 3 ,T 4 , T 5 四项，即为：lnC(T )01T2T23T 34T 5(3)1 C(T)同利用 Matlab统计工 具箱 中的 命 令 glmfit求解，拟合偏差值为1.9091 10 17 参数的估计值由表给出：表 1 模型参数的估计结果参数参数估计值001172902-243203129043050用 glmval 画出 logistic 回归曲线
10、图形，如图 2 给出了 logistic 回归曲线 (3) 与散点图。图 2 logistic回归曲线 (3) 与散点图利用 glmval 命令还可以给出自变量为 T 时因变量 C 的预测值以及置信度为95的置信区间，结果如表 2。表 2 雄性乌龟的预测值与预测区间温度乌龟雄龟雄龟比预测值置信区间蛋个 个数例C(T)/ 数27.22720.07400.70410.0109,127.724170.70830.70830.2798,128.330260.86670.86670.3879,128.427190.70370.70370.1228,129.928270.96420.96430.0138,
11、1针对问题 (1), 当幼龟的性别比例为 1:1 时， C (T ) 的值为 0.5 ，代入 (2) 式可得此时的温度，舍去第一个温度，所以当孵化温度为29.8 ,28.5 ,27.6 ,27.0 时，孵化出的幼龟性别比恰好为1:1 ，雄性龟和雌性龟数目相同。针对问题 (2) ，雄性乌龟的数目与雌性乌龟的数目比为odds (T )C(T)(3)1C(T )于是 logit 模型可表示为odds(T) e 0 1T2T 23T34T 45T5(4)当温度升高 1时， odds 比为oddsT( 1)e 01(T 1)2 (T1)23 (T 1)34(T 1) 45 (T 1)5oddsT()e
12、01T2T 23T 34T 45T5(5)分析 (5) 式可知雄性乌龟的数目与雌性乌龟的数目比为一个指数函数，随温度的升高，雄性比例也在不断提高，最后趋近于 1。六、模型评价与推广6.1 模型评价在建立logit模型前，先进行了数据的预处理，数据预处理是将被观察者按年龄段进行分组，并统计各温度下的雄性乌龟个数，及雄龟数目占该温度下乌龟总数的比例，为建立模型提供了数据支持，提高建模效率， logit 模型相对于线性回归模型来说，更符合概率在 0,1 区间取值的实际情况。 Logit 模型是一种广义线性模型，模型求解时运用了 Matlab 统计工具箱中的命令 glmfit 求解，使得参数求解和标准差求解更加便捷，并用glmval命令求出置信度为95的置信区间，使预
