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1、精选优质文档-倾情为你奉上 等差等比数列的常见题型分析考点透视：高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题题型一：等差、等比数列的基本概念与运算等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的解决等差、等比数列的
2、问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关于a1和d的方程(组)；巧妙运用等差、等比数列的性质例1：(2011江西)设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和若S10S11，则a1()A18 B20 C22 D24解析由S10S11，得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.故选B.题后反思 ：本小题主要考查等差数列的通项、性质、前n项和以及数列的通项和前n项和的关系，解题的突破口是由S10S11得出a110.变式练习：1. (2011天津)已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A1
3、10 B90 C90 D110解析因为a7是a3与a9的等比中项，所以aa3a9，又因为公差为2，所以(a112)2(a14)(a116)，解得a120，通项公式为an20(n1)(2)222n.所以S105(202)110，故选D.2.设数列an满足：2anan1(an0)(nN*)，且前n项和为Sn，则的值为()A. B. C4 D2解析：由题意知，数列an是以2为公比的等比数列，故.答案：A3. 已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.思路点拨：(1)根据条件表示出，结合是等比数列，求出其公比，进而得通项公式.（2）根据数列的唯一性，知q的一个值为
4、0，得a的值.审题视点 (1)利用b1、b2、b3等比求解；(2)利用(1)问的解题思路，结合方程的相关知识可求解解(1)设an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10.(*)由a0得，4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根，由an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.方法锦囊：关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项
5、和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识4.设是公比为的等比数列，令，若数列的连续四项在集合中，则等于( )ABC或D或【知识点】递推公式的应用；等比数列的性质解：bn有连续四项在-53，-23，19，37，82中且bn=an+1 an=bn-1则an有连续四项在-54，-24，18，36，81中an是等比数列，等比数列中有负数项则q0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，-24，36，-54，81相邻两项相除则可得，-24，3
6、6，-54，81是an中连续的四项，此时q= ,同理可求q= q=或 q= .故选B【思路点拨】根据bn=an+1可知 an=bn-1，依据bn有连续四项在-53，-23，19，37，82中，则可推知则an有连续四项在-54，-24，18，36，81中，按绝对值的顺序排列上述数值，可求an中连续的四项，求得q.5.在数1和2之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记为,令,N(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和，证明：【知识点】等比数列，裂项求和，放缩法解：设该递增的等比数列公比为，由题意而所以 7分（2） 14分【思路点拨】本题是一个求的典型例子，
7、后面求的时候符合裂项求和的架构，最后放缩，很自然。题型二：等差、等比数列的基本性质的考查考点总结：从近几年的考题看，数列性质必考，以选择填空为主，中低档，难度较大时一般出现在解答题中，但是注意做题时要活。例：2014石家庄质检一已知各项均为正数的等比数列an中，a4与a14的等比中项为2，则2a7a11的最小值为()A16 B8 C2 D4解析：由题意知a40，a140，a4a148，a70，a110，则2a7a112228，当且仅当即a72，a114时取等号，故2a7a11的最小值为8，故选B.变式练习：1、等差数列an中，a5a64，则log2(2a12a22a10)()A10 B20 C
8、40 D2log25解析：依题意得，a1a2a3a105(a5a6)20，因此有log2(2a12a22a10)a1a2a3a1020.2、已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则()A. B.或 C. D以上都不对解析：设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设acd0，当Sn取得最大值时，求n的值；(2)若a146，记bn，求bn的最小值解(1)设an的公差为d，则由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，da1.Snna1a1n2a1na1(n12)2a1.a10，当n12时，Sn取得最大值(2)由(1)及a146，得d(4
9、6)4，an46(n1)44n50，Sn46n42n248n.bn2n5225232，当且仅当2n，即n5时，等号成立故bn的最小值为32.点评：(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用(2)等差数列的性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列；aman(mn)dd(m，nN*)；(A2n1，B2n1分别为an，bn的前2n1项的和)(3)数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的二次函数或一次函数
10、且不含常数项，即SnAn2Bn(A2B20)7.若数列满足(nN*，为常数)，则称数列为“调和数列”已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 ( ) A10 B100 C200 D400【知识点】等差数列的概念、等差数列的性质与基本不等式求最值解：因为正项数列为“调和数列”，则，即数列为等差数列，由等差数列的性质，则，所以，当且仅当即该数列为常数列时等号成立，所以选B.【思路点拨】根据所给的新定义可得到数列为等差数列，从所给的项的项数特征可发现等差数列的性质特征，利用等差数列的性质即可得到则，再由和为定值求积的最大值利用基本不等式解答即可.题型三：数列与的关系的考查考点总结：已知与的关系，
11、有目标把该关系统一到同想和和上，求或，这是常见的递推关系。例：已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式审题视点 (1)化简所给式子，然后利用定义证明(2)根据Sn与an之间关系求an.(1)证明anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0，2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)解由(1)知(n1)d2(n1)22n，Sn.当n2时，有an2SnSn1，又a1，不适合上式，an方法总结：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断变式练习：1.已知是一个公差大于0的等差数列，且满足 .(1)求数列的通项公式;（2）若数列和数列满足等式：，求数列的前项和.点拨：（1）等差数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项及前项和，当然若能利用等差数列的性质来计算，问题就简单多了.（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据通项公式求前 项和 .解：（1）解法1：设等差数列的公差为d，则依题设d0 ，由.得 由得 由得将其代入得.即， ，代入得解法2：等差数列中， ，公差，
