第21届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

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1、第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷 K1本卷共七题，满分140分.一、（20分）薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判.对于均匀薄膜 z a内 材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数，其中t为渗透持续时间，S为薄膜的面积，d为薄膜的厚度，A产为薄膜两侧气体的压强 差.k称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数.透气系数愈小，材料的气 密性能愈好.图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图.EFGI为渗透室，U形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U形管内横截面积 A= 0.150cm2.实验中，首先测得薄膜的厚度 d =0.66mm,再将薄膜固定于图中处

2、，从而把渗透 室分为上下两部分，上面部分的容积 、3曲1，下面部分连同U形管左管水面 以上部分的总容积为 V1,薄膜能够透气的面积 S =1.00cm2.打开开关K1、K2与 大气相通，大气的压强 P1 = 1.00atm,此时U形管右管中气柱长度, * =关闭ki、K2后，打开开关K3,对渗透室上部分迅速充气至气体压强片工皿工血，关闭K3并开始计时.两小时后，U形管左管中的水面高度下降 了占-.实验过程中，始终保持温度为 nt .求该薄膜材料在口C时对空 气的透气系数.（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定， 在压强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压

3、强差 的平均值口下来代替公式中的上F .普适气体常量 R = 8.31Jmol-1K-1 , 1.00atm = 1.013 xi05Pa）.二、（20分）两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同 一点的时间相差半个周期.已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R的2倍，卫星通过近地点时的速度/mW*,式中M为地球质量，G为引力常量.卫星 上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角.试设 计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离.（最后结果要求用测得量和地球半径 R表示）三、（15分）叱子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命 .

4、= 10x10.宇宙 射线与大气在高空某处发生核反应产生一批 小子，以v = 0.99 c的速度（c为真 空中的光速）向下运动并衰变.根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若 t =0时刻的粒子数为N。），t时刻剩余的粒子数为义。，则有）=*,式 中T为相对该惯性系粒子的平均寿命.若能到达地面的 N子数为原来的5%,试 估算N子产生处相对于地面的高度h.不考虑重力和地磁场对11子运动的影响.四、（20分）目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地 排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条.但这样的半导体激光器发 出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用

5、.为了解决这个 问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）.如果能 把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光 的传输和应用将是非常有意义的.为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一 点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说 明.z h如图，S1、S2、S3是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于 它们的连线的同一方向发出半顶角为 a =arctan 的圆锥形光束.请使用三个 完全相同的、焦距为f = 1.50 h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组 装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使

6、三束光都能全部投射到这个组合透镜 上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于 z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源 连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离 S2为L = 12.0 h处的P点.（加 工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距.）1 .求出组合透镜中每个透镜光心的位置.2 .说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据.a五、（20分）如图所示，接地的空心导体球壳内半径为 R,在空腔内一直径上的P1 和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1 = q2 = q,两点电荷到球心的距离 均为a.由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应 电荷电量等于一2

7、q.空腔内部的电场是由ql、q2和两者在空腔内表面上的感应电 共共同产生的.由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠 加原理直接求得腔内的电势或场强.但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡 献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想（等效）点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想 将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷 圻与 q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0;由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷 用与q2共同产生的电场在原空腔内表面 所在位置处各点的

8、电势皆为0.这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而 且这样确定的等效电荷是唯一的.等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷明、,和ql、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强.1 .试根据上述条件，确定假想等效电荷 班、用的位置及电量.2 .求空腔内部任意点 A的电势UA已知A点到球心。的距离为r,不与4的火 角为0.六、（20分）如图所示，三个质量都是 m的刚性小球A B C位于光滑的水平桌面 上（图中纸面），A B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与 A B C的各 连接处皆为“钱链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）.已知杆 AB 与BC的夹角为九-a , a

9、兀/2. DE为固定在桌面上一块挡板，它与 AB连线 方向垂直.现令 A B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动， 已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当 C沿垂直于 DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对 C的冲量的大小.d七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距 l ,位于同一水平面内（图中纸 面），处在磁感应强度为 B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）. 质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直.初始时刻， 金属杆ab 和cd分别位于x = x0和x = 0处.假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆 与导轨构成的

10、回路的自感系数为 L.今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量， 使它获得初速 %.设导轨足够长，,口也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距 离的变化远小于两金属杆的初始间距 与,因而可以认为在杆运动过程中由两金属 杆与导轨构成的回路的自感系数 L是恒定不变的.杆与导轨之间摩擦可不计.求任 意时刻两杆的位置xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随 时间t的变化关系.第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为(1)V2 = HAp2= p1经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为（2）（3）渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体

11、的总体积和压强分别为+ % （有gna（5）式中P为水的密度，g为重力加速度.由理想气体状态方程可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数MM 独 i;(7)?P -,6- 在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数 N =式中NA为阿伏伽德罗常量.渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降.下降了 AnRT 、尸=匕（8）经过2小时渗透室上部分中空气的压强为曲；=（9）测试过程的平均压强差-1人P饵-Pi）（10）0c时对空气的透气系数（11）根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在 k - - 2,4 x 10 11 Pa in s Apd评分标准：本题 20 分.（1）、（2）、（3）

12、、（4）、（5）式各 1 分，（6）式 3 分，（7）、（8）、 、（10）式各2分，（11）式4分.二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点。处，设待测量星体位于C处.根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点 A时，另一个 卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出 A5口 AC的夹角 a1,位于B点的卫星用角度测量仪测出 BO和BC的夹角a2,就可以计算出此时 星体C与地心的距离OC因卫星椭圆轨迹轴的长度4 爪 % + %式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离.由角动量守恒式中m为卫星的质量.由机械能守恒GA/wj I f GMm已知

13、3 W4 技得所以.(5)在ABC用正弦定理sin a sin(n - j - ;)(6) sin a i f)C =!AB所以1(7)地心与星体之间的距离为,在 BOO用余弦定理(8)由式(4)、(5)、(7)得吼力 te cos. tr24!4代：5 1t )上) si n (rz + u ;)评分标准：本题20分.(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 分.三、因小子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命、(8)式各3分，(9) 式6* U根据时间膨胀效应，在地球上观测到的模子平均寿命为r代入数据得T = 1.4 X 105s相对地面，若1子到达地面所需时间为t ,则在t时刻剩余的卜子

14、数为根据题意有AW对上式等号两边取e为底的对数得J.-2100(5)代入数据得/ - 4J9 k LU ?s(6)根据题意，可以把 小子的运动看作匀速直线运动，有代入数据得（，*（8）评分标准：本题15分. （1）式或（2）式6分，（4）式或（5）式4分， 式2分，（8） 式3分. u四、1.考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求， 组合透镜所在的平面应垂直于 z轴，三个光心Q、02、03的连线平行于3个光源 的连线，C2位于z轴上，如图1所示.图中 mr表示组合透镜的平面，加、工、 币为三个光束中心光线与该平面的交点.眄Q = u就是物距.根据透镜成像公式1 I I可

15、解得IJ L-4/7 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan a wh即u02h.在上式中取“”号，代入f和L的值，算 得= = 1.757h（2）此解满足上面的条件.分别作3个点光源与P点的连线.为使3个点光源都能同时成像于 P点，3个 透镜的光心01、C2、03应分别位于这3条连线上（如图1）.由几何关系知，有o,0/ = 七上力.小叫Ossi方 L 2 4即光心01的位置应在S；之下与的距离为同理，O3的位置应在冬之上与用的距离为0.146 h处.由（3）式可知组合透镜中相 邻薄透镜中心之间距离必须等于 0.854h,才能使S1、S2、S3都能成像于P点.2 .现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、L3加工组装成组合透镜.因为三个透镜的半径r = 0.75 h,将它们的光心分别放置到 Q、C2、C3处 时，由于5氏=66=0.854 h2r,透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加 工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足 （3）式的要求.由于对称