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1、3.3 几何概型 概率统计小故事1.分赌本问题A、B二人赌博，各出注金元，每局每个人获胜的概率都是，约定：谁先胜局，即赢得全部注金元，现进行到A胜局、B胜局(与都小于)时赌博因故停止，问此时注金应如何分配给A和B才算公平？此问题文字最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对，和的情况的分析.由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确.例如，帕西奥利本人提出按的比例分配.塔泰格利亚则在1556年怀疑能找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若，则A取回自己下的注,并取走B下的注的
2、，这等于按的比例瓜分注金.法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按的比例分配.卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记，.把注金按：之比分给A和B.他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是,与的差距，而不在其本身.这个问题的症结在于：它关乎各人在当时状况下的期望值.从以上这些五花八门的解法中，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系.而与此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率.循着这个想法问题很易解决：至多再赌局，即能分出胜负.假如A获胜，他在这局中至少须胜局.因此按二项分布，A取胜的概率为，而B
3、取胜的概率为.注金按之比分配给A和B，因和是A、B在当时状态下的期望值.这个解是巴斯噶（B.Pascal, 16231662）在1654年提出的.他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）.1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同.后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形.分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过对这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示.有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具.如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等.可以说，通过对这个
4、问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段.2. 巴斯噶与费尔马的通信 巴斯噶与费尔马(P. de Fermat，16011665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生.巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及.至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数xyz0和整数，使) 于近年得到证明，名声更远播数学圈子内外.费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的成就，其在概率史上占到一席地位，多少有些偶然由于他与巴斯噶在1654年710月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封.这几封信全是讨论具体的赌博问题.与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数
5、”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称).与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了.他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了.他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率.3年后，惠更斯改“值”为“期望” (expectation)，这就是概率论的最重要概念之一(数学)期望的形成和命名过程.前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间.这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a和b元(a、b为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率.这个问题拿现在的标准看也有相当的难度.由此也可看出这
6、组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性.有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础.这话有相当的道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有明确陈述并提炼出概率运算的原则性内容.例如，他们视为当然地使用了概率加法和乘法定理.但未将其作为一般原则凸现出来.促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题.1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决.所提问题并不难，但不知为何巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出一个“双6”的机遇小于（其值为0.491 4）.但
7、从另一方面看，掷两颗骰子只有36种等可能结果，而24占了36的，这似乎有矛盾，如何解释.现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题.巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧.3. 惠更斯的机遇的规律惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相若的大科学家.人们熟知他的贡献之一是单摆周期公式.他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作机遇的规律出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久.该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文.他从关于公平赌博(fair game)的值的一
8、条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理.基于这些定理并利用递推法等工具，惠更斯解决了当时感兴趣的一些机遇博弈问题.最后，他提出了5个问题，对其中的3个给出了答案但未加证明.3条定理加11个问题，被称为惠更斯的14个命题.前3条如下述：命题1 若某人在赌博中以等概率得、元，则其期望为元.命题2 若某人在赌博中以等概率得、和元，则其期望为元.命题3 若某人在赌博中以概率,得、元，则其期望为元.看了这些命题，现代的读者或许会感到惶惑：为何一个应取为定义的东西，要当作需要证明的定理? 答案在于，这反映了当时对纯科学的一种公认的处理方法，即应从尽可能少的“第一原理”（first
9、principle，即公理）出发，把其他内容推演出来.惠更斯只从一条公理出发而导出上述命题，其推理颇为别致，此处不细述.这几个命题是期望概念的一般化.此前涉及或隐含这一概念只是相当于命题3中的特例，即注金乘取胜概率，因而本质上没有超出概率这个概念的范围.惠更斯的命题将其一般化，是这个重要概念定型的决定性的一步.实际上，据惠更斯的命题不难证明：若某人在赌博中分别以概率得元，则其期望为.这与现代概率论教科书中关于离散随机变量的期望的定义完全一致.余下的11个命题及最后的5个问题，都是在形形色色的赌博取胜约定下，去计算各方取胜的概率，其中命题49是关于2人和多人的分赌本问题.对这些及其他问题，惠更斯
10、都用了现行概率论教科书中初等概率计算方法，通过列出一定的方程求解，大体上与巴斯噶的做法相似.这种方法后来被伯努利称为“惠更斯的分析方法”.最后5个问题较难一些，其解法的技巧性也较强.现举其一为例：A、B二人约定按ABBAABBAABB掷两颗骰子，即A先掷一次，然后从B开始轮流各掷两次.若A掷出和为6点，则A胜；若B掷出和为7点，则B胜.求A、B获胜的概率.A在一次投掷时掷出和为6的概率，而B在一次投掷时掷出和为7的概率.记，又记为在第次投掷完时A、B都未取胜，求在这一条件下A最终取胜的概率.利用全概率公式，并注意到约定的投掷次序，可以列出方程组：.由此容易得出，略小于1/2.故此赌法对A不利.
11、机遇博弈在概率概念的产生及其运算规则的建立中，起了主导的作用.这一点不应当使人感到奇怪：虽说机遇无时不在，但要精确到数量上去考虑，在几百年前那种科学水平之下，只有在像掷骰子这类很简单的情况下才有可能.但这门学科建立后，既脱离赌博的范围又找到了多方面的应用.这也是一个有趣的例子，表明一种看似无益的活动(如赌博），可以产生对人类文明极有价值的副产物.把概率论由局限于对赌博机遇的讨论拓展出去的转折点和标志，应是1713年伯努利划时代著作推测术的出版，是在惠更斯的机遇的规律出版后56年.惠更斯这一著作，内容基本上限于掷骰子等赌博中出现各种情况的概率的计算，而伯努利这本著作不仅对以前的成果作了总结和发挥
12、，更提出了“大数定律”这个无论从理论和应用角度看都有着根本重要性的命题，可以说其影响一直到今日而不衰.其对数理统计学的发展也有不可估量的影响，许多统计方法和理论都是建立在大数定律的基础上.有的概率史家认为，这本著作的出版，标志着概率概念漫长的形成过程的终结与数学概率论的开端.假定有一个事件A，根据某种理论，我们算出其概率为.这理论是否正确呢？一个检验的方法就是通过实际观察，看其结果与此理论的推论是否符合.或者，一开始我们根本就不知道等于多少，而希望通过实际观察去估计其值.这些包含了数理统计学中两类重要问题检验与估计.这个检验或估计概率的问题，是数理统计学中最常见、最基本的两个问题.要构造具体例
13、子，最方便的做法是使用古典概率模型.拿一个缸子，里面装有大小、质地一样的球个，其中白球个，黑球个.这时，随机从缸中抽出一球(意指各球有同等可能被抽出），则“抽出之球为白球”这事件A有概率.如果不知道、的比值，则也不知道.但我们可以反复从此缸内抽球(每次抽出记下其颜色后再放回缸中）.设抽了次，发现白球出现次，则用去估计.这个估计含有一定程度不确定的误差，但我们直观上会觉得，抽取次数愈大，误差一般会愈小.这一点如伯努利所说：“哪怕最愚笨的人，也会经由他的本能，不需他人的教诲而理解的”.但对这个命题却无人能给出一个严格的理论证明.伯努利决心着手解决这个问题，其结果导致了以他的名字命名的大数定律的发现
14、.这个发现对概率论和数理统计学有极重大的意义.伯努利把这一研究成果写在他的著作推测术的第4部分中，是该著作的精华部分.由于该书在概率统计史上的重要意义，在此对伯努利其人及此书的整个面貌先作一点介绍.4. 伯努利的推测术伯努利1654年出生于瑞士巴塞尔.在其家族成员中，对数学各方面做出过不同程度贡献的至少有12人，在概率论方面有5人，其中杰出的除他本人外，还有其弟弟约翰与侄儿尼科拉斯.伯努利的父亲为其规划的人生道路是神职人员.但他的爱好却是数学.他对数学的贡献除概率论外，还包括微积分、微分方程和变分法等.后者包括著名的悬链线问题.他和牛顿、莱布尼兹是同时代人，并与后者有密切的通信联系，因而非常了
15、解当时新兴的微积分学的进展，学者们认为他在这方面的贡献，是牛、莱之下的第一人.此外，他对物理学和力学也做出过贡献.他与惠更斯长期保持通信联系，仔细阅读过惠更斯的机遇的规律，由此引发了他对概率论的兴趣.从他与莱布尼兹的通信中，可知他写推测术这一著作是在他生命的最后两年.在1705年他去世时，此书尚未整理定稿.由于家族内部的问题，整理和出版遗稿的工作，迟迟未能实现.先是其遗孀因对其弟约翰的不信任，不愿把整理和出版的事委托给他，后来又拒绝了欧洲一位富有学者捐资出版的建议.最后在莱布尼兹的敦促下，才决定由其侄儿尼科拉斯来承担这件事情.尼科拉斯也是当时重要的数学家，与欧拉和莱布尼兹保持通信联系.当时尚无
16、科学期刊，学者的通信是学术交流的一种重要方式.推测术一书共239页，分四个部分.第一部分(P271)对机遇的规律一书作了详细的注解，总量比惠更斯的原书长4倍.第二部分(P72137)是关于排列组合的系统的论述.第三部分(P 138209)利用前面的知识，讨论了一些使用骰子等的赌博问题.第四部分(P 210239)是关于概率论在社会、道德和经济等领域中的应用，其中包括了该书的精华、奠定了概率史上不朽地位的，以其名字命名的“伯努利大数定律”大数定律的名称不是出自该书，首见于泊松1837年的一篇著作中.该书若缺了这一部分，则很可能会像某些早期概率论著作那样湮没无闻，或至多作为一本一般著作被人评价.该书最后有一长为35页的附录，用与友人通信的形式讨论网球比赛中计分问题.5. 伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利推测术中最重要的部分包含了如今被称之为
