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1、数学精品复习资料有趣的中点四边形顺次连结四边形的各边中点所得的四边形叫做中点四边形.中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切的关系.现归纳几种情况,供同学们复习时参考.例1.如图1, E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.分析:连结BD、AC,欲证明四边形EFGH是平行四边形,只要证明HGEF,HEGF即可.证明:连结BD、AC.AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF,HGBD,EFBD. 图1HGEF.同理HEGF.四边形EFGH是平行四边形. 点评:因为本题中的四边形的对角线BD与AC不相等,所以有顺次连结对角线不相等的四边形的各边中点所得
2、的四边形是平行四边形.(即顺次连结任意四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形）例2.如图2, E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点,且AC=BD.求证:四边形EFGH是菱形.分析:欲证明四边形EFGH是菱形,只要先证明HGEF,HEGF.再有AC=BD即可证明四边形EFGH是菱形.证明:AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF,HGBD,EFBD. 图2HGEF.同理HEGF.四边形EFGH是平行四边形.AC=BD.四边形EFGH是菱形.点评:因为本题中的四边形的对角线BD=AC,所以有顺次连结对角线相等的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.例3.如图, E、F、G、H分别是四
3、边形ABCD各边的中点,且ACBD.求证:四边形EFGH是矩形.分析:欲证明四边形EFGH是矩形,只要先证明HGEF,HEGF. 再有ACBD即可证明四边形EFGH是矩形.证明:AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF, HGBD,EFBD. 图3HGEF.同理HEGF.四边形EFGH是平行四边形.HGBD,HEAC,ACBD,IJG=JID=,IJG=EHG=.IJG=EHG =.四边形EFGH是矩形.点评:因为本题中的四边形的对角线BDAC,所以有顺次连结对角线垂直的四边形的各边中点所得的四边形是矩形.例4.如图4, E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点,且ACBD,AC=BD.求证:四边形EFGH是正方形.分析:欲证明四边形EFGH是正方形,只要先证明HGEF,HEGF.再有ACBD,AC=BD即可证明四边形EFGH是正方形.证明:AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF, HGBD,EFBD.HGEF.同理HEGF.四边形EFGH是平行四边形. HGBD,HEAC,IJG=JID=,IJG=EHG=.IJG=EHG =.四边形EFGH是矩形.HG=BD,HE=AC, 图4HG=HE.四边形EFGH是正方形.点评:因为本题中的四边形的对角线BDAC,AC=BD,所以有顺次连结对角线垂直且相等的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.
