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1、三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容，要求掌握求三角函数最值的常见方法。类型一:利用sin x 1 cosx 1这一有界性求最值。 ,例1 :求函数y s x 1的值域。2 sin xsin x 1斛：由y 变形为(y 1)sin x 2y 1 ,知y 1 ,则有sin x2 sin x2y 12y 1 2222|sin x| 1| 1|1(2 y 1) (y 1)- yy 1y 132的值域是y 2,03类型二：y asinx bcosx型。此类型通常可以可化为y asinx bcosx da2 b2（x ）求其最值（或值域）。例 2：求函数 y sin（x ） s
2、in（x 一）（ x R）的最值。63解法 1： y sin(x ) cos(x ) 2S sin(x ) J2sin(x 不)，函数的最大值 为22 ,最小值为JS。分析 2： 运用公式 sin( a (3 ) = sin a cos B cos a sin (33 13 1解法2： y sinx cosx.函数的最大值为 42 ,最小值为42。22分析3：观察发现角(x )与角(x -)的差恰好为一，故将(x )看成基本量，将函数化归 3626为同一角(x )的函数式。 6解法3:(运用和差化积公式 )y 2sin(x 一)cos( ) J2sin(x 一)，函数的最大值为 2 2 ,最小
3、值为*2。12412类型三：y a sin2 x bsin x c(a 0)型。此类型可化为y at2 bt c(a 0)在区间1,1 上的最值问题。例3：求函数y cos2 X 3sin x 1 (x R)的最值,3 29(sin x )24分析：转化为一个角的同一种函数sinx,将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。解：y 1 sin2 x . 3 sin x 1.函数的最大值为例4：求函数y cos2 x J3asinx 1 (a R, x R)的最大值。解:2y cos(sin xJ3asin x 1 转化为 y sin2x V3a sin xa)当当,3a23一 a21时,即
4、当2配方得:x 2k3a2 242.3 , _r时，在 sinx=1,即 x32 31 行时2 332k(kz)时，ymax3a 1sinx= 1,即 x2 3 , 时，在sin32k(k Z)时,ymax3-2-a，即3a.3,arcsina 或 x 2 k 2.3 “arcsin 一 a(k2z)时 ,ymax3a224综上：ymax类型四：y asin2 x bsinxcosx c(a 0)型。此类型可利用倍角公式、半角公式进行降次、整理，再利用辅助角公式求出最值。例5：求函数f(x) 5/3 cos2 x V3sin2 x 4sinxcosx( x 乙)的最值，并求取得最值 424时x
5、的值。分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。解：由降哥公式和倍角公式，得1 cos2x .-1 cos2xf (x) 5、. 3 . 3 2223cos3x 2sin2x 332sin 2x4cos(2x ) 3.3 672一 x ,一4243f(x)的最小值为3 0,y 0 ；如果t 0,则0 y 0综上：此函数的值域是,。 33 3类型六：含有sinx cosx与sinx cosx的最值问题。解此类型最值问题通常令t sinx cos(,t2 1 2sinx cosx, J2 t ,再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。例7：求函数
6、y sin x cosx sin x cosx的最大值并指出当x为何值时，取得最大值。解法1 ： ysin x1 . cc .，cosx sinx cosx -sin2x2sin(x22x2k,2 sin(x1,(kz),解得x 2k2k1-一(k z) , Ymax二 V24212sin xcosx (t 1)2,a,b 0)型函数最值问题。4当且仅当解法 2：设 t=sinx+cosx,贝U t 2 sin(x ) . . t J2,V241c1cy (t 1) t (t 1)1221-;当t V2, 1时，函数y是减函数. y 1 -、，2/- 1 r当t 172时，函数y是增函数y 1
7、 1 V2，2y 1,1 72 1,-&即 y 1,1 V2222当 t 72时，y - V2,即 sinx cosx 72, 2解得，x 2k (k z)时，ymax _ 22 o42b类型七：形如 y sin x cos x或 y asin x n (0 x sin x构造条件并利用均值不等式求解。例8：求下列函数的量值并说明当x为何值时，取得最值。222(1) y tan x 4cot x； y cos x sin x, x (0,一)；2分析：观察发现可以用重要不等式求其最值。解(1) tan2 x 0 , cot2 x 0 , y tan2 x 4cot2 x 2 tan x 2co
8、t xtan x 2cot x ,即 tgx x k arctg , 2(kJ2时，等号成立，x z)时，y有最小值，最小值为k arctg J2 , (k z),即当4,没有最大值。(2)x (0,)2sin2 x2 4 v ysin x cos4:sin x cos/2.2-21 sin x sin x 2cos x2(3)3器31 , - 2. 22、-(sin x sin x 2cos x) 24当且仅当sin2 x 2cos2x时等号成立，27cos2 x220 时，显然 sin x 2cos x, x (0,-)， 2222sin x 2 cos x 可得 tg x 2 ,即 tg
9、x类型九:k arctg 72( k z)时，yarctg 22 , y有最大值条件最值问题。例 9：已知 3sin2 2sin2分析：用函数的思想分析问题,2 sin问题，应消元，把二元变兀，解：3sin22sin224 ., x7y无最小值。karctg J2( kz),2 3(文 y (0,万，求 y sin 2这是已知关于注意自变量的范围。2 sin.2.sinsin asin2 的取值范围。sin 3的二元条件等式求二元二次函数的值域3 . 2一 sin2sin 0.2 sin3 . sin23 . sin2sinsin0解得1sin. 一.一 2- y sin. 2 sin1. 2-sin2sinsin a =0 时,Ymin0 ；sin2时,31-(sin41)2sin例10：求函数解：定义域为21 cos y.cos2y maxv x Y1 x的最大值和最小值,0x 1,可设 x2cos x且0sin2sin2sincos434.22=0或一时,4(此时x当x=0或x=1时,9并指出当2 sin(sin( 0.2 sin. 2 sin2-o34o9x分别为何值时取到最大值和最小值。(此时 x=1 或 x=0), y=1;要同原函数
