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1、类型一数式规律1探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（）A363 B153 C159 D456【答案】B；【解析】把6代入计算，第一次立方
2、后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153故选B【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数可以任意找一个3的倍数，如6第一次立方后得到216；第二次得到225；第十次得到153；开始重复，则可知T=1532(1)有一列数，那么依此规律，第7个数是_；（2）已知依据上述规律，则 【答案】(1) ； （2）.【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，
3、即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是.（2）【点评】(1) 规律：（n为正整数）；（2）规律：（n为正整数）.3（1）先找规律，再填数：（2）对实数a、b，定义运算如下：ab=，例如23=2-3=.计算2（4）（4）（2）= .【答案】（1）；（2）1；【解析】（1）规律为：（n为正整数）.（2） 2（4）（4）（2）=2-4（-4）2=1.4.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：2的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则 【答案】因为，.三个一循环，因此5 在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一
4、”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了下面两个图框是用法国“小九九”计算89和67的两个示例（1）用法国“小九九”计算78，左、右手依次伸出手指的个数是多少？（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算ab的正确性？【答案】2，3【解析】（1）按照题中示例可知：要计算78，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指； （2）按照题中示例可知：要计算ab，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5
5、）=a+b-10，未伸出的手指数的积为（10-a）（10-b）=100-10a-10b+ab根据题中的规则，ab的结果为10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）而10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）=10a+10b-100+100-10a-10b+ab=ab所以用题中给出的规则计算ab是正确的6将正偶数按下表排列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 第2行 4 6 第3行 8 10 12 第4行 14 16 18 20 根据上面的规律，则2006所在行、列分别是_【答案】第45行第13列【解析】观察数列2，4，6，8，10，.每个比前一个增大2，200
6、6是这列数字第1003个.每行数字的个数按照1，2，3，4，5，.，n 递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数.如果2006在第n行，那么设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。到第44行（含44行）共有数字（44+1）=990个；到第45行（含45行）共有数字（45+1）=1035个；2006是第1003个，在45行13列.7在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形（1）请你利用这个几何图形求的值为_（2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形【答案】（1）(2) 8.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 （1）
7、请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+ S102的值.【答案】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，（2）因为OA1=，OA2=，OA3=，所以OA10=（3）S12+ S22+ S32+ S102=.9.根据以下10个乘积，回答问题：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 1723； 1822； 1921； 2020.(1)试将以上各乘积分别写成一个“2-2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由(1)、(2)猜想一个一般
8、性的结论.(不要求证明) 【答案】(1)1129=202-92；1228=202-82； 1327=202-72；1426=202-62； 1525=202-52；1624=202-42； 1723=202-32；1822=202-22； 1921=202-12；2020=202-02；例如：1129；假设1129=2-2； 因为2-2=(+)(-) 所以，可以令-=11，+=29 解得，=20，=9，故1129=202-92 (或1129=(20-9)(20+9)=202-92)(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： 1129122813271426152516241723182219
9、212020.(3)若a+b=40,a,b是自然数，则ab202=400. 若a+b=40，则ab202=400. 若a+b=m，a，b是自然数，则 若a+b=m，则 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则a1b1a2b2a3b3anbn. 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则a1b1a2b2a3b3anbn. 10、有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_【答案】：50【解析】：仔细观察这
10、一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；第一个数是1，第二个数数1+1，第三个数是1+1+3，第四个数是1+1+3+5，第五个数是1+1+3+5+7，第六个数是1+1+3+5+7+9， 为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式，为1+0，这样，就发现数字1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列0，1，4，9，16 中，而0，1，4，9，16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与1的差，即1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2，26=1+（5-1）2，这样，第n个数为1+（n-1
11、）2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当n=8时，代数式1+（n-1）2的值，此时，代数式1+（n-1）2的值为1+（8-1）2=50。所以，本空填50。11.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为_.【答案】：199【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。当序号为1时，对应的值是1，有序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，1）；当序号为2时，对应的值是3，有序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，3）；当序号为3时，对应
12、的值是6，有序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，6）；因为，所以有：成立，所以，对应的数值y是序号n的二次函数，因此，我们不妨设y=an2+bn+c，把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分别代入y=an2+bn+c中，得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=，b=，c=0，所以，y= n2+n，因此，当n=100时，y= 1002+100，当n=98时，y= 982+98，因此（1002+100）-（982+98）=199，所以该空应该填199。12、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示：按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴
13、棒的根数为（ ）A B C D【答案】：A【解析】：第一个图需要火柴的根数是8，有序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，8）；第二个图需要火柴的根数是14，有序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，14）；第三个图需要火柴的根数是20，有序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，20）；因为，所以有：成立，所以，每个图形中所需要的火柴的总根数y是这个图形的序号n的一次函数，因此，我们不妨设y=kn+b，把A（1，8），B（2，14）分别代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2，所以，y=6n+2。因此选A。13、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_。【答案】：50【解析】：仔细观察第一个图，正方形的个数为1，第二个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1+3+1个，第三个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1+3个，即为1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中正方形的个数为1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，这样，第5个图形中正方形的个数，也就是当n=5时，代数式2n2-2n+1的值，所以，代数式的值为：2n2-2n+1=252-25+1=41个。所以，本空填5
