对“几何直观”概念的几点辨析浙江省海盐县实验小学教育集团 顾志能在《义务教育数学课程原则（）》(如下简称《原则》）中，“几何直观”是课程目的的核心概念《原则》提出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想……要特别注重发展学生的应用意识和创新意识而在《义务教育数学课程原则(实验稿）》中，“几何直观”却并不是课程目的的核心概念，这预示着,几何直观将成为数学教学研究中的一种新的关注点在这个时候,理解几何直观的含义，理解与有关概念的区别，对小学数学教师而言,就显得非常必要和迫切为此，笔者从自己的困惑出发,结合所看到的有关资料,谈某些粗浅的结识,供教师们讨论一、几何直观的含义《原则》：“几何直观重要是指运用图形描述和分析数学问题借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简要、形象，有助于摸索解决问题的思路，预测成果几何直观可以协助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用出名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[1]也有学者这样描述：“几何直观是一种思维活动,是人脑对客观事物及其关系的一种直接的辨认或猜想的心理状态。
［2］从这些描述中，我们可有如下的结识：◆几何直观是一种运用图形结识事物的能力[3]，或者说一种解决数学问题的思维方式◆这种能力可外化成为一种在解决某些数学问题时的措施,这种措施区别于其他措施的典型特性在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义◆用这种措施解决问题,不是运用几何中常用的论证措施,而是通过经验、观测、想象等途径,直观地感知问题的成果或方向——即“直观”两字的意义如三年级学生要学习同分子分数大小比较,这个知识相对比较抽象,学生较难理解此时,学生如果能积极地采用画出（或想到)如下几何图形(图1)的方式,然后通过观测(或想象)图形的特点及联系,直观地解决问题,并理解了“分子相似的分数,分母小的反而大”的原理学生如果具有这种解决问题的思维方式，掌握这样的措施，我们就可说学生有几何直观的能力图1二、几何直观与数形结合在理解几何直观意义的过程中，教师们最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来例如说，上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子，在此前，我们始终是视为这是用数形结合思想来解决问题的典型而如今,这样的观念要调节,数形结合变成了几何直观,这就难免让人疑惑:数形结合与几何直观,区别究竟在哪里？近期，在笔者参与的或理解到的某些以几何直观为话题的教研活动，都呈现出了一种共同之处：教师呈现的所谓几何直观的例子,都是此前所讲的数形结合的例子。
教师们更有这样的结识:几何直观，无非是数形结合的“同名词”，或者也许只是数形结合的“升级版”而已教师们对此的不解,甚至于体现为“用到了几何图形,就是体现了几何直观”这样的想法固然,笔者所言的这些教研活动,大多是很基层的，或许只是代表了部分一线一般教师的结识但是,这足以阐明对数形结合与几何直观作出辨别是非常必要的什么是数形结合？数形结合,是一种重要的数学思想措施,也是解决数学问题的有效方略它是指解决数学问题时,可借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特性［４］数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”如小学数学中的分数应用题，我们运用画线段图来分析其中的数量关系，这样的状况就可叫做“以形助数”而我们在直角坐标系中，用数对来描述图形的变化(如平移、旋转)，或计算两点之间的距离等,这样的状况则可叫做“以数解形”以形助数”,是在发挥“形”所具有的直观特点,来减少“数”的抽象度;而“以数解形”，则是在运用“数”的精确性,来精确刻画“形”，让“形”得以量化如此,直观与抽象互相配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题[5]如果用一种不太恰当的比方来形容数形结合的特点,它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道，起着由此及彼、互相增进的作用。
我们再来看几何直观从几何直观的概念可知，它是指“运用图形描述和分析数学问题”那么，我们不得不产生这样的理解:几何直观就是用“形”来解决数学问题尽管这个“数学问题”也许并不仅仅是“数”，可以是“形”或者其他数学问题但不管如何,如果与数形结合做个对比,那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已在小学数学中,由于“以数解形”的例子很少,因此就导致了教师们谈及数形结合时，都是举了单向的由“形”出发解决“数”的例子如此一来,我们自然就会遇到这样的状况:数形结合的例子是“以形助数”，几何直观的例子也是“以形助数”,在小学中,两者所举的例子似乎是同样的或许就是由于这样的因素，曾有专家提出：在小学数学中，不必辨别数形结合和几何直观这样的观点，笔者觉得也不无道理 固然,尽管有这样的观点,但并不是说几何直观就是数形结合的下位概念笔者觉得,如果我们要将几何直观与“以形助数”作区别的话,那就必须要抛开表面的相似,而去找到两者核心的区别在笔者看来，几何直观的内涵最重要之处是“直接感知”(即徐利治先生所下定义中的用词）具体地说，数形结合的“以形助数”,的确是借助于“形”来分析“数”，但是,这个“形”需要我们相对规范地得出,解释的过程更是要借助于“形”的细节严谨地开展,是带有初步的演绎推理的成分（已类似于证明)。
而几何直观,也是在用“形”，但这个“形”,可以是眼睛见到的,可以是画出的,也可以是大脑想到的更重要的是,它是要依托“形”直接地产生对数量关系及事物其他本质属性的感知,即“未经充足逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的结识［6]”直白地讲，几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式，它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”如前文所举的分数大小比较的例子，当学生头脑中想到“一种圆平均提成四份，其中的一份与平均提成五份中的一份相比”，这时，生活经验一方面介入,然后支撑表象立即建立,于是“不小于”的成果直接就在学生头脑中形成了这明显与用图形来规范严谨地进行说理是不同样的因此，几何直观与数形结合虽有一定联系，却并非同一意义，这往往为诸多人所混淆也正由于站在这样的角度，笔者觉得,《原则》对几何直观的文字描述还不是最抱负，至少是很难让人将几何直观与数形结合中的“以形助数”区别开来固然,这也许是笔者理解不够导致的三、几何直观与直观几何谈起几何直观,我们又不得不提及人们常常听到的另一种名词——直观几何那么，几何直观和直观几何，这两者又是怎么回事呢?我们在初中阶段都经历过这样的几何学习——从定义、公设、公理或已证的命题出发,通过一系列严谨的环节、严密的推理,完毕对某个命题的证明。
这样的几何就是论证几何，或称之为证明几何论证几何有助于培养人的逻辑思维能力,提高人的理性思维水平,欧几里得的《几何原本》就是一种典范,它为数学的发展和人类的进步做出了卓越的奉献但是，人除了逻辑思维能力之外,还需要形象思维能力而在几何的学习中，如果能“从直观形象这一侧面”(希尔伯特语）,通过观测、想象、操作等手段去结识图形、发现规律或解决问题，那么,人的形象思维能力就会得到良好发展，发现能力和创新精神也会得到有效培养这种“通过图形进行观测，根据直观结识来研究图形的性质和有关问题，以这种措施为重要手段的几何学叫直观几何[7］”在小学数学中,由于学生的年龄特点和认知特点，她们学习几何需要更多地从经验入手,通过观测比较，或通过动手操作，从而获得对图形的结识，并发展空间观念举些例子来阐明：如,在学习两直线相交的有关知识时,我们引导学生通过观测、比较,她们就会得出对顶角（学生叫对角）相等的结论（图2)倘若学生有疑义，则可让她们借助工具来测量,那就一定会得出这样的结论再如，在学习平行四边形面积时，我们也是让学生通过观测,想象到沿着平行四边形的高剪下一种三角形,拼到另一侧就可转化为一种长方形（图3),然后进行对比,找到两者之间的联系，从而得出面积计算公式。
这种以观测、操作等为手段得出结论的几何学习措施,就是直观几何在小学中，无论是几何图形的特性、性质还是求积的公式，基本上都是通过这样的直观措施得到的在欧氏几何中,这都是需要证明的）因此，“小学几何课程内容的性质实质上是直观几何、实验几何[8］”图2图3 也正是由于直观几何具有诸多的论证几何所不具有的教育价值，因此，也产生了以“直观”为理念来设计几何课程的尝试，并收到明显效果，如俄罗斯的中学几何教材《直观几何》就是典范从上可见,直观几何和几何直观是两个不同的概念,直观几何是一种几何学习的措施，而几何直观则是一种解决数学问题的思维方式，是一种能力固然,尽管概念涵义不同，但它们之间却并非毫无关联例如,经历直观几何的学习，必然能为几何直观能力的形成打下基本由于学生通过直观方式学习几何的过程,就一定是一种积累几何活动经验、发展几何直觉的过程而这种不断增强的几何经验、直觉，就会积淀并转化为学生将来用几何直观措施解决问题时可调用的丰富资源四、几何直观与空间观念对几何直观的论述,《原则》中还出目前课程总体目的中的“数学思考”部分——建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。
这样的表述，在向我们传递着几何直观是一种能力的同步,更吸引着我们去关注句中浮现的另一种熟悉的名词——空间观念之因此要拿出它们两者来进行讨论，是由于在我们的老式结识中，空间观念也是一种能力,并且这种能力的形成过程也是与几何图形紧密有关的更重要的是，在实验稿的课标中，“能运用图形形象地描述问题,运用直观来进行思考”，是作为空间观念的特性来描述的而在《原则》中，这句话略作修改竟变成了几何直观的定义——几何直观重要是指运用图形描述和分析问题于是,这不禁让我们深思：几何直观和空间观念，它们究竟存在如何的关联呢？先得说空间观念所谓空间观念，可以当作是物体和图形的形状、大小、位置、关系等在人脑中的表象(周玉仁语）在《原则》中，是从四个方面来具体描述空间观念特性的发展空间观念的有效途径，典型理论觉得,那就是在几何学习时多用经验、观测、操作、想象、交流等手段以这样的论述对比几何直观的概念,我们可以有两点结识:一，空间观念，是几何教学领域中的一种专用名词,是几何教学的一种重要目的而几何直观，却并非是限于几何领域内的一种名词,它尽管是借助了几何，但它却跳出了几何,合用到了更广阔的领域二,相对而言，空间观念更多地体现为教学的成果,目的性特性比较明显,而几何直观作为一种思维的方式和能力,过程性特性更加凸显。
也许正是两者具有这些差别，《原则》就从实验稿课标对空间观念的描述中剥离出一项,提高成为另一种核心的概念——几何直观固然，将两者做为两个能力目的区别看待，并不是新生事物,颁布的《一般高中数学课程原则（实验稿）》早已这样提出)同步,我们不难想到,由于共同元素“几何”的存在,两者之间想要毫无瓜葛那也是不现实的明显地,要清晰表象、发展空间观念，宜借助图形,采用观测、想象等直观手段，但这样的过程中就已经隐含了运用几何直观措施的元素反之，在运用几何直观措施思考问题、解决问题的时候，观测、想象等手段也必然相伴而行，空间观念自然也在潜移默化地得到发展因此,如果将它们两者做个比方的话,与否有“同饮一江水,风情两相宜”的意境呢？五、题外话尽管笔者以较长的篇幅谈了对几何直观的粗浅思考，但事实上,对于几何直观这个《原则》中新提的名词,笔者和大多数小学数学教师同样，除了文中谈及的几种话题之外,尚有诸多的不明之处、疑惑之处如，小学数学教材中承载几何直观能力培养的内容具体有哪。