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1、九年级数学竞赛专题 第一讲 因式分解一、选择题1下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（ ）A(2a+3)()2a-3)=4a-9; B4m-9=(2m+3)(2m-3)Cm-16+3m=(m+4)(m-4)+3m; D2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz 3y 3z2下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A-7ab 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y); BC6; Dxy(x y ) x (y x ) = x (x y )(y 1 )3下面各式的因式分解中，正确的是（ ）ABCD4下面各式的因式分解中，正确的是（ ）Aab a + b + 1 = (a 1
2、)(b + 1)B4xy + 1 4C3a 3b + 3x bx = (a b )(3 x )D5下列因式分解的变形中，正确的是（ ）ABCD二、填空题1在代数式中是完全平方式的是_。2若：被2x 3 除后余3，则商式是_，且a = _。3在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是_。4乘积=_。5已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数_整除。三、解答题1分解因式; ; ; ; ;2已知三角形的三条边a,b,c适合等式：，请确定三角形的形状。3已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。4已知：2x
3、 3 和 3x + 1是f(x) = 的因式，求a,b的值。5证明：（1）若n为整数，则一定是8的倍数；（2）若n为正整数时，- n 的值必是6的倍数；（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数。答案一、选择题1B2C3D4D5C提示：1依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。只有选项B正确，其中选项A、D均为整式乘法。2按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正、只有选项C正确。3利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D正确，选项B因式分解的结果并不彻底。4利用分组分解法同时结
4、合公式法进行因式分解，只有选项D正确。5利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C正确，选项B非恒等变形。二、填空题：11；2X+4.5；3110平方厘米；4；57、11、13提示：1若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。而只有（1）式=是完全平方式。2根据题意，利用大除法： a = 5，即：商式为x + 4，且a = 5.3依题意，原正方形面积为厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差公式：乘下的面积就是12.75- 7.25=(12.75+7.25)(12.75 - 7.25) = 110平方厘米4原式5依题意，设所求的站位数为：，a,b,
5、c均为自然数，则 1001=71113， a,b,c为自然数，100a + 10b + c 为自然数7三、解答题1分解因式：（1）十字相乘法：原式（2）配方法：原式=（3）配方法：原式 （4）原式= （5）法1：原式= 法2：原式= （6）法1：原式= 法2：原式= （7）原式= （8）反数法：原式= 2解，依题意：而a,b,c为三角形的三边长 a + b + c 0只有a = b = c，即三角形为等边三角形注：也可如下分解：原式= 3解：设这三个奇数依次为n 2 , n , n + 2，其中n为自然数，则n 2，则依题意：(n - 2) + n + (n+2) = 251 3n=243 n
6、=81 n = 9或-9当n = 9时，n 2 = 7, n + 2 = 11;当n = - 9时,n 2 = - 11, n + 2 = -7.所以，这三个连续奇数为7、9、11；或7、-9、-114解：若(2x 3 )和(3x + 1)都是f(x) = ax+bx+32x + 15的因式，则(2x 3 )(3x + 1 ) = 6x-7x 3能整除f(x)。解法1：利用多项式与多项式的大除法：a = 6且b = - 37即： 解法2： n = -5, m = 1, b = -37, a = 6即5证明：（1）n为整数， 8 | 8n.即8|(2n+1)-(2n-1)命题得证；（2）n为正整数，(n+1)和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，所以，2|n(n+1)；而(n-1),n,(n+1)是连续3个整数，必有一个是3的倍数，所以3|(n-1)n(n+1),即6|(n-1)n(n+1)。命题得证。（3）设这四个连续自然数依次为n 2, n 1, n , n + 1，其中n2且n为自然数，则依题意：(n 2 )(n 2 ) n (n + 1 ) + 1=(n 2 ) (n + 1)(n 1 )n + 1=(n- n 2 )(n- n ) + 1=(n- n )-2(n-n )+1=(n- n 1 )因为n为自然数，所以n- n 1 必为整数，即命题得证。- 1 -
