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1、-圆的基此题型纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考察并占有一定的分值；一般在10分15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考察；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。一、圆的性质及重要定理的考察根底知识：1垂径定理；2同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.(3)圆周角定理及推论 4圆接四边形性质【例1】如图，为O直径，为弦，且
2、，垂足为1的平分线交O于，连结求证：为弧ADB的中点；2如果O的半径为，求到弦的距离；ABDEOCH填空：此时圆周上存在个点到直线的距离为【解析】1，又，又，为弧ADB的中点2，为O的直径，又，作于，则3.【点评】 此题综合考察了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“根本图形.几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,此题的弦心距就是指线段OD的长.在圆中解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂径定理和勾股定理结合起来解题.如图,O的半径为,弦心距为,弦长之间的关系为.根据此公式,在、三个量中,知道任何两个量就可
3、以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个根本图形.【例2】 如图，点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧的三等分点，则的度数为【解析】由B、C分别是劣弧的三等分点知，圆心角AOB=BOC=COD,又，所以AOD=138.根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有69.点评此题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。【强化练习】【1】.如图，O是ABC的外接圆，AD，CE分别是BC，AB上的高，且AD，CE交于点H，求证：AH=AO(1)如图，在O中，弦ACBD，OEAB，垂足为E，求证：OE=CD(2)如图，AC，BD是O的两条弦，且ACBD，O的半径为，求AB2CD2的值。【2】第
4、25题如图，O是ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE1求ACB的度数；2过点O作OFAC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长二、直线与圆的位置关系根底知识：1、直线与圆的位置关系有三种:如果一条直线与一个圆没有公共点,则就说这条直线与这个圆相离.如果一条直线与一个圆只有一个公共点,则就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.如果一条直线与一个圆有两个公共点,则就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.2、直线与圆的位置关系的判定；3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
5、4. 和圆有关的比例线段1相交弦定理圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；2推论如果弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；3切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；4推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。5. 三角形的切圆1有关概念：三角形的切圆、三角形的心、圆的外切三角形、多边形的切圆、圆的外切多边形；6、圆的切线的性质与判定。【例1】如图，四边形接于O，是O的直径，垂足为，平分DECBOA1求证：是O的切线；2假设，求的长【解析】1证明：连接，平分，DECBOA，是O
6、的切线2是直径，平分，在中，在中，的长是1cm，的长是4cm【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例2】如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD1求证：ADB=E；2当点D运动到什么位置时，DE是O的切线.请说明理由3当AB=5，BC=6时，求O的半径4分【解析】1在ABC中，AB=AC，ABC=CDEBC，ABC=E，E=C又ADB=C， ADB=E2当点D是弧BC的中点时，DE是O的切线理由是：当点D是弧BC的中点时，则有ADBC，且AD过圆心O又
7、DEBC， ADED DE是O的切线3连结BO、AO，并延长AO交BC于点F， 则AFBC，且BF=BC=3又AB=5，AF=4设O的半径为，在RtOBF中，OF=4，OB=，BF=3， 34解得，O的半径是【点评】 此题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.【例4】：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CDAB于D点，假设PA：PC1：2，DB4，求tanPCA及PC的长。图7证明：连结CBPC切半圆O于C点，PCABPP，PACPCBAC：BCPA：PCAB是半圆O的直径，ACB90又CDABA
8、BADDB5【例5】：如图8，在RtABC中，B90，A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D。求证：1AC是D的切线； 2ABEBAC分析：1欲证AC与D相切，只要证圆心D到AC的距离等于D的半径BD。因此要作DFAC于F2只要证ACAFFCABEB，证明的关键是证BEFC，这又转化为证EBDCFD。证明：1如图8，过D作DFAC，F为垂足AD是BAC的平分线，DBAB，DBDF点D到AC的距离等于圆D的半径AC是D的切线2ABBD，D的半径等于BD，AB是D的切线，ABAF在RtBED和RtFCD中，EDCD，BDFDBEDFCD，BEFCABBEA
9、FFCAC小结：有关切线的判定，主要有两个类型，假设要判定的直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直的方法；假设要判定的直线与圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径的方法。此例题属于后一类【例6】：如图9，AB为O的弦，P为BA延长线上一点，PE与O相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F。求证：分析：由可得PE2PAPB，因此要证PF2PAPB，只要证PEPF。即证PFEPEF。证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，CED90点C为的中点，CDAB，CFGDPE为O切线，E为切点PEFD，PEFCFGCFGPFE，PFEPEF，PEPFPE2PAPB，PF2P
10、APB证明二：如图91，连结AC、AE图91点C是的中点，CABAECPE切O于点E，PEACPFECABC，PEFPEAAECPFEPEF，PEPFPE2PAPB，PF2PAPB【例7】1如图10，直线AB过圆心O，交O于A、B，直线AF交O于F不与B重合，直线l交O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD图10图101求证：BADCAG；ACADAEAF2在问题1中，当直线l向上平行移动，与O相切时，其它条件不变。请你在图101中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；问题1中的两个结论是否成立.如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。证明：1连结BDAB是
11、O的直径，ADB90AGCADB90又ACDB是O接四边形ACGB，BADCAG连结CFBADCAG，EAGFABDAEFAC又ADCF，ADEAFC，ACADAEAF2见图101两个结论都成立，证明如下：连结BC，AB是直径，ACB90ACBAGC90GC切O于C，GCAABCBACCAG即BADCAG连结CFCAGBAC，GCFGAC，GCFCAE，ACFACGGFC，EACGCAEACFE，ACFAEC，AC2AEAF即ACADAEAF说明：此题通过变化图形的位置，考察了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考察，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。【强化练习】【
12、1】第22题如图，O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是ACB的平分线与O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE1求AC、AD的长；2试判断直线PC与O的位置关系，并说明理由【2】第23题如图，在ABC中，C=90，ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，O是BEF的外接圆1求证：AC是O的切线2过点E作EHAB于点H，求证：CD=HF【3】第25题如图，在O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD1求证：ABDCDB；2假设DBE=37，求ADC的度数【4】第24题如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于点D，
13、且D=2CAD1求D的度数；2假设CD=2，求BD的长【5】第27题如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径作半圆O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE1求证：DE是半圆O的切线2假设BAC=30，DE=2，求AD的长三、圆与圆的位置关系的考察根底知识：如果两个圆没有公共点,则就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、(3)所示其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做含(3)中两圆的圆心一样,这两个圆还可以叫做同心圆如果两个圆只有一个公共点,则就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示其中(4)又叫做外切,(5)又叫做切如果两个圆只有两个公共点,则就说这两个圆相交,如图(6)所示【例1】如图是奥运会自行车比赛工程标志，则图中两轮所在圆的位置关系是A含B相交
