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1、第六章定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分.本章我们将阐明定积分的定义，它 的基本性质以及它的应用.此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之 间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互 逆地联系起来，成为一个有机的 整体.最后，我们把定积分的概念加以推 广，简要讨论两类广义积分. 6.1定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题.例1计算曲边梯形的面积设y f ( x)为闭区间a,b上的连续函数，且f(x) o.由曲线y f(x)，直线x a, x b及x轴所围成的平面图形(图6- 1)称为f (x) 在a,b上的曲边梯形，试 求这曲边梯形的面积
2、.yy f (x)图6 1我们先来分析计算会遇到的困难.由于曲边梯形的高f(x)是随x而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积.但我们可以用平行 于y轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图61所示.在每个小 曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小 矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原 曲边梯形的面积，从而运用极 限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法.下面我们分三步进行 具体讨论：分割在a,b中任意插入n 1个分点a x0xix2x1,x2，xn 1,xn，每个子区间的长度
3、把a,b分成n个子区间x必， 为xs x. x. 1(i 1,2, ,n). 近似求和 在每个子区间以1,x. (i 1,2, n)上任取一点.，作和式 f(i)x.i1(1.1) 取极限当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作 A).因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有nf (i)xiA i1例2求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度v是时间t的连续函数v v(t).试求该物体 从时刻t a到时刻t b 一段时间内所经过的路程s .因为v v(t)是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程.但我们仍可
4、以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题.用分点a t0t1t2L 1tnb把时间区间a,b任意分成n个子区间(图62)：皿，tn 1，捉每个子区间的长度为tititi 1( i 1,2, n)-0 a 京2L it图6 2(2)在每个子区间t 1,t (i 1,2, n )上任取一点j，作和式nv (i ) Ii1(3)当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有nv(i)tjSi1以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确 定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、 近似求和、取极限”或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)
5、的极限问 题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线 的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对 这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念.定义6.1.1设函数f(x)在a,b上有定义，在(a,b)内任取n 1个分点3 X0 X1 X2xn 1xnb把a,b分成n个子区间*必，x1,x2，xn 1,xn，每个子区间的长度为x.x.x. 1(i 1,2, n) .在每个子区间x.1,x. (i 1,2, n)上任取一点.(称为介 点)，作和式f(.) x.，并记max x. 如果不论对a,b怎样划分成子区间，也i 1 1i n不论在子区
6、间x. 1,X.上怎样取介点.，只要当0时，和式(1.1)总趋于确定的 值I， 则称这极限值I为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作f (x)dx，即abnf (x)dx I lim f (.) x.(1.2)a 0i 1 .其中f ( x)称为被积函数，x称为积分变量，a, b称为积分区间，a, b分别 称为积分的下限和上限.关于定积分的定义，再强调说明几点：(1) 区间a,b划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或n的大小来确定.因为 尽管n很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小.求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度0，这时必然有n所以在它不定义中的两个“任取”意味着这是一种具
7、有特定结构的极限， 同于第二章讲述的函数极限.尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取 而不断变化着，但当0时却都以唯一确定的值为极限.只有这时，我们才说 定积分存在.(3) 从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数f(x)在a,b 上有界因为如果不然，当把a,b任意划分成n个子区间后，f(x)至少在 其中某一个子区间上无界.于是适当选取介点，能使f(i)的绝对值任意地 大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值.(4) 由定义可知，当f ( x)在区间a b上的定积分存在时，它的值只与被 积函数f(x)以及积分区间a,b有关，而与积分变量
8、x无关，所以定积分的值不会因 积分变量的改变而改变，即有b b ba f (x)dx a f (t)dta f (u)du -(5) 我们仅对a b的情形定义了积分f ( x)dx，为了今后使用方便，对a b 与aa b的情况作如下补充规定：当a b时，规定f (x)dx 0 ；a当 a b 时，规定 f (x)dx f (x)dx -根据定积分的定义，我们说：例1中f (x)在a,b上的曲边梯形的面积就是 曲线的 纵坐标f(x)从 a到b的定积分A f (x)dx- a 它就是定积分的几何意义.注意到若f(x) 0，则由f (i) 0 及X0可知1f(x) ab f (x)dx 0这时曲边梯
9、形位于x轴的下方，我们就认为它的面积是负的.因 此当在区间a,b上的值有正有负时，定积%x)dx的值就是各个曲边梯形面积 和，如图63所 示.f(X)图6图6例2中物体从时刻a到时刻3b所经过的路程就是速度v(t)在时间区间 a,b上的定积分v(t) dt 对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义.当f( x)在区间a, b上的定积分存在时，就称f(x)在 a,b上可积，说明 (3)表明：f ( x)在a,b上可积的必要条件是f (x)在a,b上有界.下面是函数 可积的两个充分条件，证明从略.定理6.1.1(1)若f (x)在a,b上连续，则f ( x)在a, b上可积.若f ( x
10、)在a, b上有界，且只有有限个间断点，则f (x)在a, b上可积.2. 定积分的基本性质定理 6.1.2 ( 积分的线性性质)若f (x)在a,b上可积，k为常数，则kf(x)在a, b 上可积，且 kf (x)dx k f (x)dx (1.3) aa若f (x), g(x)在a,b上可积，则f(x) g(x)在a,b上也可积，且b bf(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx?(1.4)aaa证根据定义，有kf (x)dx lim kf (.) x.k lim f (.) x.k f (x)dx所以(1.3)式成立类似可证(1.4)式成立.定理6.1.2 的更一般的结论是kj
11、a f.(x) dx.b n n ba k.f .(x)dxa aj 1 j 1其中 fj(x) (j 1,2, ,n)在a,b上可积，kj(x) (j 1,2, , n)为常数定理6.1.3 (积分对区间的可加性)设f (x)是可积函数，则b fb(x)dx f(x)dx f (x)dx(1.5)对a, b, c任何顺序都成立证先考虑a c b的情形.由于f (x)在a,b上可积，所以不论将区间a,b如 何划分，介点如何选取，和式的极限总是存在的.因此，我们把c始终作 为一个分点，并将和式分成两部分：f( i) xi1f( i) xi2f( i) xi，其中1,2分别为区间a,c与c,b上的
12、和式.令最长的小区间的长度0,上式 两边取极限，即得(1.5)式.对于其它顺序，例如ab c，有cbca f(x)dx a f (x)dx b f (x)dx,所以bccf(x)dx f (x)dx f (x)dxf (x)dx f (xcdx - ac(1.5)式仍成立.定理6.1.4 (积分的不等式性质)若f(x), g(x)在a,b上可积，且f (x) g(x),则a f (bxb)dxbba g(x)dx a f(x)dxaag(x)dx -(1.6)由假设知bag(x)f(x)dxanlim。g(i)()勺0i1g() f () 0,且xi0(i 1,2, n)，所以上式右边的极限值
13、为非负，从而有bba g(x)dx a f (x)dx aa(1.6)式成立从定理6.1.4立刻推出推论6.1.1若f ( x)在a, b上可积，且f (x) 0,贝Ibf (x)dx 0 -推论6.1.2 (积分估值)若f ( x)在a,b上可积，且存在常数m和M,使 对一切 x a,b有 m f(x) M，则m(b a) f(x)dx M(b a)-a推论6.1.3若f (x) 在: a, b上可积，则f(x)在a,b上也可积，且(f( xx这里f(x)在a,b上的可积性可由f (x)的可积性推出，其证明省略.推论6.1.4 (严格不等式)设f ( x)是a, b上的连续函数，若在a, b
14、上f(x) 0 且 f(x) 0，则bf(x)dx 0 a证由假设知，存在x0 (a,b)使f (x0) 0，根据f ( x)的连续性，必存在x0的邻域(x0 ,x0) a,b，使在其中f (x)f (x0 )，从而有2b f (x)dxx0f (x)dx f (x)dx f(x)dx bx0f (x0 )f (x)dx 0 2f (x0) 0，所以结论成立定理6.1.5 (积分中值定理)若f ( x)在a,b上连续，则在a,b上至少 存在一点，使得bf (x)dx f( )(b a) -(1.7)a证 因为f ( x )在a,b上连续，所以f (x)在a,b上可积，且有最小值m和最大值M .于是在a,b上，m(b a) f (x)dx M(b a),aa f (x)dxma M -ba根据连续函数的介值定理可知a,b上至少存在一点，使f (x)dxba所以(1.7)式成立.f (x)dxf (x)dx形同底，以f ( )a为高的矩形面积.通常把f()，即a称为函数f(x)b ab a在a,b上的积分均值，而这正是算术平均值概念的推广.定理6
