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1、线性代数复习题一、单项选择题1. 下列行列式的值不一定为零的是（ B ）。A阶行列式中，零的个数多于个； B行列式中每行元素之和为；C行列式中两行元素完全相同； D行列式中两行元素成比例。2.方程的实根为（ C）.（A）0; （B）1; （C）-1; （D）2.3. 若都是阶方阵，且, ，则必有( C ). A. 或； B. ； C. ； D. 或.4. 设为阶矩阵，下列运算正确的是（D ）。 A. B. C. D. 若可逆，则；5. 下列矩阵中,不为初等矩阵的是( C ).(A)； (B)； (C)； (D).6. 设为阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是（B ）.(A) ； (B) ； (C
2、) ； (D) .7. 下列矩阵中（C ）不满足。(A）; （B）; （C）; （D）.8. 设为同阶可逆方阵,则( D )。(A)； (B) 存在可逆矩阵；(C) 存在可逆矩阵；(D) 存在可逆矩阵. 9.下列条件中不是阶方阵A可逆的充要条件的是（ C ）。A； B；CA是正定矩阵； DA等价于阶单位矩阵。10.设A、B为同阶方阵，则（ C ）成立。A； B；C； D。11.设A为非奇导矩阵，则（D ）为对称矩阵。A； B；C； D。12.若矩阵A、B、C满足，则（ C ）。A； B；C； D。13. 初等矩阵（A）；() 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（） 所对应的行列式的值都等于1；（
3、） 相乘仍为初等矩阵； （） 相加仍为初等矩阵14.设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（A ） () 列向量组线性无关， （） 列向量组线性相关， （）行向量组线性无关， （） 行向量组线性相关15.向量线性无关，而线性相关，则（ C ）。 () 必可由线性表出， （）必不可由线性表出，（）必可由线性表出， （）必不可由线性表出.16. 已知线性无关，则（A ）A. 必线性无关；B. 若为奇数，则必有线性相关；C. 若为偶数，则必有线性相关；D. 以上都不对。17. 有向量组,（ B ）时,是,的线性组合。A； B；C； D。18.设为阶方阵，其秩，那么在的个行向量中（A ）。
4、(A) 必有个行向量线性无关； (B) 任意个行向量线性无关； (C) 任意个行向量都构成极大无关组； (D) 任意一个行向量都可由其余的个行向量线性表示.19. 是非齐次线性方程组有无穷多解的( B ). A. 充分条件; B. 必要条件; C. 既非充分条件又非必要条件; D. 不能确定.20. 设向量组线性无关,线性相关,则以下命题中，不一定成立的是( D ). A. 不能被线性表示； B.不能被线性表示；C. 能被线性表示； D.线性相关21. 下列不是向量组线性无关的必要条件的是（ B ）。A都不是零向量; B. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 中任意两个向量都不成比例;
5、 D. 中任一部分组线性无关;22. 设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是的（ A ）。A列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关；C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；23. 向量组线性无关的充分必要条件是（D ）（A）均不为零向量；（B）中有一部分向量组线性无关；（C）中任意两个向量的分量不对应成比例；（D）中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示。24. 如果（ D ），则矩阵A与矩阵B相似。A. ； B. ； C. 与有相同的特征多项式； D. 阶矩阵与有相同的特征值且个特征值各不相同；25. 是阶可逆矩阵，则与必有相同特征值的矩阵是( C ). A. ; B
6、. ; C.; D. .26. 阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有个（ C ）。A 互不相同的特征值； B互不相同的特征向量；C.线性无关的特征向量； D两两正交的特征向量。 27. 设2是可逆矩阵A的一个特征值，则有一个特征值等于 （ D ）（A）2； （B）-2; （C）-; （D）.28. 二次型，当满足（C）时，是正定二次型 ()；（）；（）；（）二、填空题1. 行列式=_ _;2. 的根的个数为 个3. 。4. 若行列式 则 5. 设,则线性组合 。6. 设A是43矩阵，若，则=_；7. 设,，则AB=_ ;8. 设矩阵，则 9. 设，则 ；10. 设 为行列式中元素的代数余子式
7、，则 ；11. 设是阶方阵的伴随矩阵，行列式，则=_；12.= ；13. 设，则= ；14. 已知设则 ；15.设，且，则= 。16.矩阵不是可逆矩阵，则 ；17. 已知向量组线性无关，则向量组的秩为 ；18. 已知向量组则该向量组的秩为 ;19. 设向量组的秩为2，则 20.设 则 ；21. ，当 时，矩阵A为正交矩阵22. 设三阶方阵A的特征值为1、2、2，则 。23实二次型秩为2，则 24. 设方阵相似于对角矩阵，则 。25. 已知，且于相似，则 。四、解答与证明题1. 已知，求2. 设实对称矩阵，求正交矩阵，使为对角矩阵，3.设，是中的向量组，则1）. 为的一组基；2）. 用施密特正交化方法把它们化为一组标准正交基。 4设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为，求矩阵A。5求一个正交变换，使二次型化为标准型。6.设是非齐次线性方程组的一个特解，为对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：向量组线性无关。7. 已知与都是阶正定矩阵，判定是否为正定矩阵，说明理由.8. 设为的非零解，为的解，证明与线性无关。9设是阶方阵，且，；证明：有非零解。10 已知向量组(I) 的秩为3，向量组(II) 的秩为3，向量组(III) 的秩为4，证明向量组的秩为4。
