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1、数学基本思想的内涵、特征及其教学意蕴2011年，课程标准的修订稿终于出台了。原定是5年修改到位的，实际上经过了10年的时间。中间的风风雨雨大家应该都听说过一些，最为激烈争论的时候，以为会把实验稿翻掉重来的。2005年，姜伯驹院士联合90名政协委员，联名向“两会”提交提案，要求立即停止推进新课标的实施。一时山雨欲来风满楼，在国内教育界引起不小的地震。后来，据说派出多个专家小组前往全国各地调研，发现“新课标”实施四年并不是那么糟糕，反而教师拥护的居多数。现在我们来看一看修改稿，与实验稿的变化真的不大。要说有什么显著的变化，我看双基变四基，双能变四能我看是最大的亮点。就是在以前的基础知识、基本技能的
2、基础上，增加了基本思想、基本活动经验。在以前分析问题、解决问题的基础上，增加了发现问题、提出问题的能力。更为准确的说，只是在原有基础上的丰富、补充、矫正，而不是实质性的改变。因为他们的基本方向是一致的。在改变的内容中，新增的基本数学思想、基本活动经验是目前老师们最为关注的，因为过去对这两个名词儿老师们接触不多。因为从深层次上分析，积累数学基本活动经验，是形成数学基本思想的一个途径，数学基本思想是源、是根，所以，我今天重点和老师们谈一谈数学基本思想。当然，谈这个话题有一定的难度，因为对于数学基本思想，并没有一个统一的界定，课标中采用的举例的方式，对数学基本思想进行的一个描述性的定义，原文是这样的
3、：“数学思想蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。”然后，举了一个例子，比如分类是一种重要的数学思想。不关心这个话题的老师，或许不会认为分类就是一种数学思想，我就教过分类啊，低年级的时候，就教过给纽扣分类，有两个孔的，有三个空的，有四个孔的纽扣一堆，其中有红色的、绿色的、黑色的、白色的。教学时我们是怎么处理的呢？看看我们自己穿的衣服，都有纽扣吧？老师这儿也带来了许多好看的纽扣，你喜欢那种？能不能给这些纽扣分分类呢？除了按颜色分类，还可以按什么
4、标准来分类呢？你打算用什么方法把分类后的结果表示出来呢？是这样教的吧？可是没觉得这是什么数学思想啊？不就是一种关于分类的知识么？再进一步，不就是向学生渗透，分类可以有不同的方法么？这与数学思想有关系吗？与这个相联系，到了中高年级，我们还会给图形分类，给数分类，给代数式分类，请问老师们，教学这些内容的时候，您想过“数学思想”这个词儿么？如果上升到数学思想这个层面，分类的教学应该怎么教？要注意些什么呢？这些问题，如果没有关注过，就不会有比较深入的、清晰的认识。对数学思想理解的困惑，还来自于对数学思想的理解有着较大的差异。即便是课标制定组的专家，围绕这两个名词的阐释也不尽相同，即便是一个专家，前后所
5、阐释的也不一样。有趣的是，我们修订的课表中，用来举例的分类的思想，专家们现在说，那不属于基本数学思想。也就是说，用他们现在的表述，课标的修订稿在这个问题上，还是需要进行调整修改的。这是为什么呢？这是因为数学思想的含义，是可以从多方面解释的：一是推进支撑数学产生和发展的思想；二是在数学学习中获得的思想；三是联合国教科文组织关于数学思想的刻画。所以尽管我们常听到数学思想这个词儿，但是由于语境不同，大家表述的内容其实存在着很大的差异性，下面我就这三种不同的角度，分别谈一下，数学思想的涵义。第一：推进支撑数学产生和发展的思想。这其实就论及到数学教育的发源。而不可避免的，人们首先想到的是古巴比伦和古埃及
6、的数学教育思想。因为这不是今天讲题的重点，我就扼要的解释一下这方面的研究成果。古巴比伦与埃及的数学是外国数学的两大源流，数学教育也是如此。巴比伦对数学的贡献主要在代数方面。他们创造了60进位制的计数法，掌握了包括四则运算及平方、开方、立方和立方根的算术运算。在方程、数列和数论方面都有了相当的知识。古埃及的数学倾向于几何。在面积和体积的计算方面有惊人的成果。古埃及公元前2000年已经开始存在学校。而古巴比伦公元前3700年前已经存在学校。而且那会儿就有了择校，因为在繁荣的经济中心，那儿的寺院和图书馆规模更大，资源更加丰富，教育人才也更为优越、充裕。古埃及和巴比伦的数学发展，其实有着深刻的社会政治
7、、经济根源。特别是经济发展，催生了土地划分、灌溉、粮食分配、谷仓修建，引出了许多数学问题。包括青铜器的普遍使用，手工业的发展，商品交换中产生的利率、税率等一系列的数学问题，以及航海中定向定位，促进了航海、天文学的发展等等。所以，数学的发展其实是从社会需要中得到动力的。除了实际的需要以外，并没有其他更进一步的动力和原因。以古巴比伦为例，他们擅长于算术和代数，而对于几何，他们不为几何而研究几何，总是在解决实际问题时才搞几何，他们几何达到的水平可以从他们圆面积公式A=C的平方/12中看出，数学及其教育仅局限于在实际中的运用。最后说一说古希腊的数学，论其成就的不胜枚举了。毕达哥拉斯对于数列的研究、毕达
8、哥拉斯定理、不可公度比的发现、平面几何的许多定理、厄里亚学派的四个关于运动的驳论、柏拉图学派对于立体几何的研究，欧几里得的几何原本，阿基米德关于面积和体积的研究，托勒密的三角术等等。古希腊数学的一个重要特征，就是数学的结论要加以证明，这和古巴比伦和埃及只经验数学是很不相同的。由这一特征所决定，古希腊的数学具有抽象性、严谨性和轻视实际应用的特性。上述是对数学产生的思想做出的分析，这种分析的思路大家可参见克莱因的古今数学思想一书。事实上，这部著作至今仍被认为是一部对数学思想考察之集大成的作品。这样的考察其实会让我们从中产生一种体会和思考，即对数学本源的思考，至少以下几点值得我们注意：（1）数学教育
9、应该首先满足学生离校后参加生产及日常生活的基本数学需要；故而学校的数学教育必须紧密联系实际，重视数学在生产和生活中的应用价值；重视实际问题的数学模型建立课，培养学生的应用数学的观念和能力。（2）数学课程应该随着数学科学本身的不断发展而不断更新。特别是随着计算机的发展，其对数学发展和影响要进行重新的评估。（3）数学教育应培养勇于探索的精神和追求真理的理想。考察古希腊人为什么能创造出如此辉煌的数学成就，不能不归结到希腊人对了解自然界的不可遏制的愿望。所以，好的数学教育应该能把“冰冷的美丽”化作“火热的思考”。（4）数学教育要让学生得到美的享受、心灵的陶冶。数学除了应用价值外，还有美育的价值。数学所
10、特有的理性美、对称美、冷峻美、简约美等，都会让学生的身心得到熏陶。三次数学危机带给我们的启示数学史上的三次危机1第一次数学危机回顾数学史上的三次危机，我们还得从“数”的研究开始。人们最早认识的是自然数，很有意思，数学经过了上千年的辗转反侧，最终又回到了自然数。因为微积分的基础是实数论，实数的基础是有理数，有理数的基础就是自然数。还是克罗内克说得好：“上帝创造了自然数，其余的都是人的工作。”研究自然数遇到的第一个问题就是记数法与进位制的问题。无穷多个自然数可以用有限的符号来驾驭，所有的自然数都可以方便清楚的表示出来。不能不说，记数法和十进制是自然数发展史上的一次飞跃。但是，真正意义上对自然数的理
11、性认识，还应该从毕达哥拉斯谈起。毕达哥拉斯学派对自然数做了多方面的研究，他们的研究成果对后来的柏拉图、亚里士多德都有较大的影响。毕达哥拉斯学派是一个宗教性的学派，他们不仅把数字看做计数的工具，而且看成神圣、完善、友好、幸运及邪恶的符号。比如，他们认为大于1的奇数象征男性，偶数象征女性；5是第一个男性数与女性数之和，所以象征结婚与结合。他们发现了完美数6=1+2+3和亲和数，如284和220是一对亲和数，220的真因数是1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284，而284所有的真因数之和为220（朋友是什么？另一个我）。包括他们对和谐（3：4：6）的乐声、勾股定理的发现等
12、等。这些发现，都使他们确信，整个宇宙的现象都依附于某种数值的相互关系，也就是存在着“宇宙的和谐”。毕达哥拉斯学派认为，从0和1出发，通过加法，能得到所有的自然数；通过减法，得到所有的整数；通过除法得到所有的有理数。故而在数轴上，具有稠密性。无穷分下去，是不是意味着占据了数轴上所有的点呢？他们错了，他的一个学生发现，边长为1的正方形的对角线长度，就无法使用两个自然数的比来表示，亦即是，正方形的对角线的长度与边长是不可公度的。数学基础出现了“逻辑上的丑闻”，在毕达哥拉斯学派内部造成了强烈的冲击：（整）数并不能统治宇宙。由此便引发了历史上第一次数学危机。据说，把消息泄露出去的学生被抛进了大海。另一种
13、说法是，被逐出学派，并为他立了一个墓碑，说他已经死了。这一次为危机，导致新的理论建立起来了，在新的理论体系下，数系扩张了。无理数出现了。被毕达哥拉斯认为是“异物”的东西成了这个体系的合理的存在物。2第二次数学危机数学的第二次危机萌芽于公元前450年，发生在十七、八世纪。17世纪晚期，牛顿和莱布尼兹彼此独立地创立了进行无穷小运算的微积分。牛顿基于运动的观点提出了“流数术”，莱布尼兹则从几何的角度出发，提出了“一种求极大、极小和切线的新方法，以及这种方法的奇妙类型的运算”。他们都把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法，有了明确的计算步骤，阐明了微分法和积分法的互逆性。但是两位创立者由于对某些概念
14、描述得含混不清，特别是没有找到从有限量到无限小量的桥梁，从而遭到了来自各方的攻击。英国大主教、唯心论哲学家贝克莱于1734年写文章，攻击说流数（导数）是“消失了量的鬼魂”，“用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果。”（兔子追不上乌龟、飞矢不动）神秘的微分学遭遇模棱两可、不能自圆其说的尴尬，引发了第二次数学危机。虽然在这次危机中，微分学被人攻击为“瞪着眼睛说瞎话”，但在克服“无穷小量是零又不是零”的矛盾中，大大促进了微积分、级数论、函数论、微分方程、变分法、泛函分析等学科的飞速发展，尤其到了18世纪，是数学的发展达到了空前光辉灿烂的程度。直到19世纪7
15、0年代，魏尔斯特拉斯、狄德金、康拓等人建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，完成了分析学逻辑的奠基工作，从而结束了因微积分基础不牢而造成的长达300多年的争论局面。3第三次数学危机算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面、体为对象。这样，数学家门就自然想到了把数学要统一起来，而统一的基础就是集合，这样一来，集合成了更基本的概念。数学家弗雷格就做了这样的工作，他在集合论的基础上写了一本研究算术的书算术基础。为了做好这项工作，他必须对正整数等进行重新定义，也就是，用集合的语言和观点去定义。这里不妨举一个例子，就是关于0的定义。在集合里，我们有必要承认空集。比如X的平方
16、+1=0，在实数域的根就是空集。这个空集我们给它一个符号就是0。空集是空的，由空集组成的类，即集合的集合，它本身是一个元素，即0是一个元素，由它组成的一个集0则是非空的。由此出发，还可以建立很多集，这样就能把全部的正整数都定义出来，也就是，我们有把握说，整个数学都可以建立在集合论的基础上了。可是，正当他准备出版这本书时，罗素悖论（其通俗说法，就是我们常听到的理发师悖论）如同一颗重磅炸弹，无情地震撼了整个数学界，顷刻之间，算术基础动摇了，整个数学的基础似乎也动摇了。许多为集合论兴高采烈的数学家发出了哀叹：我们的数学就是建立在这样的基础上吗？罗素的悖论在当时是不可辩驳的，这确实导致了一场深刻的危机。“（悖论 上帝是万能的）为应对第三次数学危机，数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论做某些必要的规定。以排除悖论，于是，数学家们又忙碌起来。于是由德国数学家策梅洛提出，
