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1、数值计算方法插值与拟合实验报告摘要：通过实验介绍插值方法中常见的拉格朗日插值，线性分段插值和牛顿前插公式，分析计算各种方法的插 值余项。在曲线拟合方面使用两种不同类型的曲线来拟合同一组数据，并计算残差向量范数，比较不同曲线拟合的 效果，在此例上给出优劣的判断。关键词：拉格朗日插值；线性分段插值；牛顿前插公式；曲线拟合引言在工程和科学计算中经常碰到只知道离散的数据测量点而需要匹配其变量之间的数学函数表达式的情况，这就需要插值和拟合的数值方法来解决这些问题。插值法是在离散数据的基础上补 插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点，也是离散函数逼近的重要方法，利 用它可通过函数在有限点处的
2、取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。曲线拟合则是用连续 曲线近似地刻画或比拟平面上离散点所表示的坐标之间的函数关系，在各个方面也有着愈加广泛 的应用。1 算法介绍1.1 拉格朗日插值法1.1.1 算法理论对某个多项式函数，已知有给定的k+1个取值点:( x , y ),.,( x , y )0 0 k k其中x对应着自变量的位置，而y对应着函数在这个位置的取值。假设任意两个不同的乂.都互不ii相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：L(x):=亡 y l (x)iij - 0其中每个 j x)为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数)，其表达式为: 拉格朗日基本多项式 S
3、的特点是在兀上取值为1,在其它的点x，i丰j上取值为0。对l （x） := nkji=0, i 工 jx - xji（x 一 x ）0（x 一 x ）j0（x 一 x ） （x 一 x ）jj+1（x 一 x ） （x 一 x ）jj 一1jj +1（x 一 x ）k（x 一 x ）jkjji于给定的k +1个点：（x0，yo），.，（xk，yk），拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点Xj取值 为1,而在其他点取值都是0的多项式I.（x）。这样，多项式yili（X）在点X-取值为y.，而在其 ji ijj他点取值都是0。而多项式L(x):=亡 y l (x)iij=o就可以满足L(x) :=
4、y l (x) 0 + 0 + . + y +. + 0 yi iiij0在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：).(X 一 X )k(x 一 x ).(x 一 x )(x 一 x0j-1j+1它在点 X 取值为：（x. -x0）.（ x. - x.-1）（ Xj-Xj+）（ Xj-Xk）。由于已经假定 Xj两两互不相同，因此上面的取值不等于0。于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在Xj取值为1,而在其他点取值都是0的多项式”:l (x):於 X 一 Xi jX - Xj=0,i 工jji(x - x )0(X 一 X )j0(x - x ) (x - x )j-/+1(x - X
5、) (x - X )jj -1jj +1(x-x )k(X 一 X )jk这就是拉格朗日基本多项式。拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增 加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁 琐。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳 定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和实际上”的值之间有很 大的偏差。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。1.2.2 算法描述对于已给定的点 (X0,y0),.,( Xk,yk)和待估计的点
6、的横坐标x,如上述理论，将其值代入l (x):=於上二jX - Xi=0,i 工 j ji(X- X )k -(X - X )jk(X-X )(X- X ) (X- X )0 (X - X )(X - X ) (X - X )j 0jj -1jj +1计算出插值基函数的值，然后根据公式：L(x):=才 yl (x)iij=0计算出纵坐标的估计值，由此完成对该点的插值过程，其中k为该点插值的阶数。1.2 线性分段插值1.2.1算法理论首先介绍线型插值，假设我们已知坐标(x0，y0)与(y1)要得到(x0，y1)区间内某一 位置x在直线上的值。根据图中所示，我们得到y - y y - y0 = 1
7、 0x x x x0 1 0由于x值已知，所以可以从公式得到y的值丄()y y丄(x x ) y (x x ) yy 二 y + (x x ) L0 二 y +0_lq 000 x x 0x x10 10已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。线性插值经常用于已知函数 f 在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误 差定义为：Rt= f ( x) - p ( x )其中 p 表示上面定义的线性插值多项式f ( x ) f ( x )p(x)二 f (x ) +f 上(x x )0x 一 x010根据罗尔定理，我们可以证明：如果/有二阶连续导数，那么误差范围是( x x
8、 )2x x x01IR IL1 maxi f(x)lT8正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。而分段线型插值就是把需要插值的区间依已给定的点(x0, %),( xk, yk)分为k-1段，每段利用其端点进行线型插值。1.2.2 算法描述利用已给定的点（xo, yo），（xk，yk）对插值区间分为k-1段，将每段的端点（x.，人）与（x. 1, y丿作为数据点利用公式i+1 z+1p (x)二f (x)+f(x ) - f(x )1 0x - x10在所构成的区间进行线性插值。1.3 牛
9、顿插值法1.3.1 算法理论注意在下面的讲述中着重介绍差商的概念，设：N （x） = c + c （x一 x ） + c （x一 x ）（x一 x ） +. + c （x一 x ）（x一 x ）.（x一 x ）n 0 1 0 2 0 1 n 0 1n -1问题是如何根据插值条件N(x)二y.,i = 0丄,n来计算待定系数c0，c1,-cnn ii01 n由 Nn(xo) = yo = f (xo)知，co 二 yo 二 f (xo)。由 Nn(xi)二 yi 二 f (xi) c = c (x 一 x ) = y0 1 1 0 1因而，y y f (x) f (x ) fc = 1 O =1
10、0 = fx , x 1 x xx x011 0 1 0其中， fx0 , x1 称为函数 f (x) 在 x0, x1 点的一阶差商。由 Nn(x2)=y2= f(x2) 知：n 222c + c (x x ) + c (x x )(x x ) = y0 1 1 0 2 2 0 2 1 2因而y yy y2 1 1 0x 一 xx 一 xc =21102x 一 x20f x , x f x , x 1 2 0 1x 一 x21= fx0,x1,x2其中，fx,x1,x2称为函数f（x）在x0,x1,x2点的二阶差商。实际上，它是一阶差商的差 商。一般地，如果已知一阶差商fxix., fx.x
11、.+1，那么就可以计算二阶差商f xi-1, x，x J =f x , x - f x , x x 一 xi+1i1类似于上述过程不断地推导下去，可得fx,x ,.x 一 fx , x ,., x 丄 2 n0 丄n1 f x , x ,x x x01 nn0其中，f xo, xr，xn称为函数f(x)在相应点处的n阶差商。这些结果说明，要保证上面构造多项式的方法具有期望的优点，就必须要有一个好的计算系数 x0 , x1, xn 的方法。 01 n按上述方式构造插值多项式的方法叫做牛顿插值法。根据插值多项式的惟一性知，其截断误 差与拉格朗日插值法相同，即：1R (x) f(n+1)忆)兀(x)
12、n (n + 1)!n+1兀 (x x )(x x )(x x ).(x x )n +1012n但也可以表示成差商形式。这是因为以xo,xi，xn+1为节点的多项式N (x) N (x) + f x , x ,., x兀(x)n +1n01n +1n +1从而f (x) N(x) N (x ) + f x , x ,., xn(x )n+1n +1n+1nn+10 1n +1n +1n +1于是 Nn(x) 的截断误差可表为R f x , x，x , xn(x)n 0 1 nn +1顺便指出，因为牛顿插值多项式具有性质：N (x) N(x) + f x , x ,., x n (x)nn 10
13、1 n n所以，类似于逐次线性插值法，也可以把上述和式中的第二项f x , x ,., x 兀0 1 n看成是估计 Nn1(x) 的一种实用误差估计式。n1与差商概念密切联系的另一个概念是差分，它是指在等距节点上函数值的 差。所谓等距节点，是指对给定的常数h (称为步长)，节点x x + ih,( i 0,1,., n )i0x 处的一阶向前差分；称 ii-1x 处的一阶向后差分。 i一阶差分的差分称为二阶差分，即-Af = A2f.称为x处的二阶向前差分。一般 i+1iii地，m 阶向前和向后差分可定义如下：A m-1 fiA mf = A m-1 fii +1V mf = V m1 f V m1 fii +1im = 2,3,4差商与差分之间存在关系：f x , x ，,x =01Anf (x )Vnf (x )0 =n_nn! hnn !hn其中g是介于x0，x，,x 之间的某个数。01n将此式代入 Nn(x)， 即可得到牛顿前插公式P (x) = P (x + th)=丈 Af x)t(t 1).(t n) n n 0k!k=0f (n+1)(g )(n +1)!R (x)=nhn+ 1t(t 1).(t n), g g (x , x )0n1.3.2 算法描述利用已给定的点 (x0, y0),.,( xk, y
