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1、 1 1【方法引领】数学应用问题是高考中常见题型之一.常见的应用题有：(1)函数与不等式模型；(2)函数与导数模型；(3)三角函数模型；(4)数列模型.首先，要掌握解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答(解应用题的一般思路如下面流程图所示).其次，要掌握数学建模的方法.【举例说法】一、关系分析法:通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型.例1某工厂有容量为300 t的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水.已知该厂生活用水为每小时10 t，工业用水量W(
2、单位：t)与时间t(单位：h，定义早上6时t=0)的函数关系式为W=100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10 t，以后每提高一级，每小时的进水量增加10 t，若某天水塔原有水100 t，在供水同时打开进水管.(1)设进水量选用第n级，写出在t时刻时水的存有量；(2)问：进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?【读懂题意】题目涉及的关键词比较多：生活用水量、工业用水量、水的存有量、进水量、原有量.其数量关系为：存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量.第一问的关键点是求“进水量选用第n级”.第二问的关键点是“水塔中水不空不溢”转化为“存
3、有量(0，300)”.【建立模型】因为存有量=进水量-用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工业用水量=10t+100，所以在选用第n级的进水量时，t时刻水的存有量为y=10nt-10t-100+100(0t16)，要使水塔中水不空不溢，则0y300，问题转化为确定n，使010nt-10t-100+100300在(0，16上恒成立.【精要解析】面对上述不等式，如何求解?是否会转化为“+1n+1对一切0t16恒成立”，是否会作一个代换“令=x，x”，将上式转化为“-10x2+10x+1n20x2+10x+1对一切x恒成立”.由于g(x)=20x2+10x+1在上的最小值为，h(x)=-10x2+
4、10x+1在上的最大值为，所以0，即1 600-4 0000，化简，得5+2-70，即，可得n5，所以至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. 三、图象分析法:通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题数学模型.例3某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图(1)所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图(2)所示的抛物线段表示. (1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系Q=g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的西红柿纯收益
5、最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天) 图(1) 图(2)【读懂题意】(1)观察图象求出市场售价函数P=f(t)和种植成本函数Q=g(t).(2)由“市场售价减去种植成本为纯收益”建立纯收益函数h(t)=f(t)-g(t).【建立模型】由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=+100，0t300.【精要解析】 (1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=+100，0t300.当0t200时，配方整理得h(t)=-(t-50)2+100，所以当t
6、=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【练习】某公司为帮助尚有26.8万元的无息贷款，但没有偿还能力的残疾人商店，借出20万元，将该商店改建为经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(不计息).已知该种消费品的进价为每件40元，该店每月销售量q(单位：百件)与销售价p(单位：元/件)的关系用图中的一条折线表示.职工每人每月工资600元，该店应交付的其他费用为每月13 200元. (1)若当销售价p为52元/件时，该店
7、正好收支平衡，求该店的职工人数；(2)若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品价格定为多少元?所以当40p58时，S=(-2p+140)(p-40)100-600m-13 200，当58p81时，S=(-p+82)(p-40)100-600m-13 200.由题设知，当p=52时，S=0，即(-252+140)(52-40)100-600m-13 200=0，解得m=50，即此时该店有员工50人.(2)由题意知S=当40p58时，求得当p=55时，S取最大值7 800(元)；当580)，设P(x，y)(0x)，圆柱底面半径为r，体积为V，则PE=，2r=AE=x
8、，则r=，所以V=r2l=x2.设t=x2(0，3，令u=t2(4-t)，则u=-3t2+8t=-3t，令u=0，得t=.当t3时，u0，u是减函数；当0t0，u是增函数，所以当t=时，u有极大值，也是最大值，所以当x= m时，V有最大值 m3，此时y= m.故裁一个矩形，两边长分别为 m 和 m时，能使圆柱的体积最大，其最大值为 m3.【练习】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各
9、点均在同一平面上)由双曲线定义知点P在以A，B为焦点的双曲线-=1上，依题意得a=680，c=1 020，所以b2=c2-a2=1 0202-6802=53402，故双曲线方程为-=1.将y=-x代入上式，得x=680.因为PBPA，所以x=-680，y=680，即P(-680，680)，故PO=680.答：巨响发生在接报中心的西偏北45距中心680 m处.【实战演练】1. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km和40
