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1、线性代数知识点1、行列式1. n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质： 、A和a的大小无关；i i 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为AI ；A = （-“+jMi i3代数余子式和余子式的关系：M = （-1+jA3ijij4.设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，1将D顺时针或逆时针旋转90。，所得行列式为D，则D = （-1）TD;2 2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D = D ；3 3将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D = D ；
2、4 45. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积X （-1）叮； 、上、下三角行列式（I、匚Ikl）:主对角元素的乘积； 、|F |和I：副对角元素的乘积X（-1）于；、拉普拉斯展开式：。O=A CBOB=AIBI、O=（-1） gn |a|b|、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;、特征值;6. 对于n阶行列式AI，恒有:kE - A = X +丫 （-1）kS Xn k，其中S为k阶主子式;kkk =17. 证明Al = 0的方法：、IaI = -lA ； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax = 0，证明其有非零解; 、利用秩，证明r n
3、 ； 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是阶可逆矩阵：o AI丰0 （是非奇异矩阵）；o r（A） = n （是满秩矩阵）o A的行（列）向量组线性无关；o齐次方程组Ax = 0有非零解；o Vb e Rn， Ax = b 总有唯一解；o A与E等价；o A可表示成若干个初等矩阵的乘积；o A的特征值全不为0；o AtA是正定矩阵；o A的行（列）向量组是Rn的一组基；o A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A : AA* = A*A = AE无条件恒成立;3. (A-1)* = (A*)-1(A-1)t = (AT )-1(A*)t = ( At )*4矩阵是表格，推导符号为波
4、浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：，则:As丿AI = A |A L a I；1 2II、A-i =、(A-11-1-1-1A-12(A-1(AT丿s、B-1O丿;（主对角分块）;（副对角分块）-A-1CB-B-1丿;（拉普拉斯）-1(A-1(-B-1CA-1 B-1 丿;（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组(E O、1一个m xn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F = Er O ； O丿mxn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩 阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)
5、 = r(B)o A : B ；2行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(A, E) : (E, X)，则 A 可逆，且 X = A-1 ； 、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-1B，即：(A,Bp (E,A B)； 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax = b，如果(A,b)： (E,x)，则A可逆，且 x = A-1b ；1.初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩
6、阵、右乘为初等列矩阵;、A =，左乘矩阵A，九乘A的各行元素；右乘,i九乘A的各列元素; i、对调两行或两列，符号E (i, j)1 1 -11 1 且 E (i,力-1 = E (i, j)，例如：1=1:1丿(1V1(1、倍乘某行或某列，符号E(i(k)，且E(i(k)-1 = E(i(丄)，例如:k(k 丰 0)1丿、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)-1 = E(ij(-k)，如：11k-111-k、1=1(k 丰 0)；、 1丿1丿2.矩阵秩的基本性质： 、0 r(A ) min(m,n)；mx-n 、r(At) = r(A)； 、若 A : B，则 r(A) =
7、r(B)； 、若 P、Q 可逆，则 r (A) = r (PA) = r (AQ) = r (FAQ)； 、max(r(A),r(B) r(A, B) r(A) + r(B) ；X(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、r(A + B) r(A) + r(B)；(探 、r (AB) min(r (A), r (B)；(探 、如果A是m xn矩阵，B是n x s矩阵，且AB = 0，贝V:(探I、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论)；II、r(A) + r(B) r(A) + r(B) -n ;3.三种特殊矩阵的方幕：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形
8、式，再采用结合律;1 a c 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式；0 0 1 丿二项展开式=X Cmamb n-mnm =0(a + b)n = C 0an + C1 an-lbl + L + Cman-mbm + L + Cn-iaibnT + Cnbnnnnnn注：I、(a + b)n展开后有n +1项;n(n - 1)L L (n - m +1)C 0 = Cn = 1 m !(n - m)!n nII、 C m =nIg2g34 gm4.III、组合的性质：Cm = Cn - mnnC m = Cm + Cm-1n+1nnX Cr = 2nnr=0rCr = nC-1 ；nn-1、
9、利用特征值和相似对角化: 伴随矩阵：r (A) = nr (A) = n 一 1 ；r (A) n 一 1n 、伴随矩阵的秩：r(A*) = J10 、伴随矩阵的特征值：A (AX = XX,A* = AA-= A*X = AX)；九九n-1 、A* = |a|A-1、|a*| = I a I-5. 关于A矩阵秩的描述： 、r(A) = n，A中有n阶子式不为0，n +1阶子式全部为0；(两句话) 、r(A) n， A中有n阶子式不为0；6. 线性方程组：Ax = b，其中A为m xn矩阵，贝V： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax = b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax
10、 = b为n元方程；7. 线性方程组Ax = b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；8. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、a x + a x + L + a x = b1111221nn1a x + a x + L + a x = b2112222nn2、（aaLa )(x、(b )11121n11aaLaxb21222n2=2MMOMMMaaLa_丿 丿 b丿m 22、mmnm n nmn m(x )1a x + a x + L + a x = b m11（向量方程，A为m xn矩阵,o
11、 Ax = bm个方程，n个未知数）（全部按列分块，其中p =(b )1b2Mb)nLLLLLLLLLLL=p （线性表出）、a x1 1有解的充要条件：r（A） = r（A, P） n （ n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m个n维列向量所组成的向量组A : a ,a ,L ,a构成nxm矩阵A = （a ,a ,L ,a ）；12m12m（P T ）1m个n维行向量所组成的向量组B : Pt, Pt,L , pt构成m xn矩阵B =卩2 ；12mMP TW m丿含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 oAx = 0有、无非零解；（齐次线
12、性方程组） 、向量的线性表出oAx = b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示o AX = B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵A 与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组= 0和Bx = 0同解；（P例mxnl xn10114）4. r（ATA） = r（A） ； （Pq1 例 15）5. n维向量线性相关的几何意义： 、a线性相关 o a = 0 ； 、a,P线性相关o a,P坐标成比例或共线（平行）； 、a, P，丫线性相关 oa, P,丫共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若a ,a ,L ,a线性相关，则a ,a ,L ,a ,a 必线性相关；1 2s1 2s s+1
13、若a ,a ,L ,a线性无关，则a ,a ,L ,a必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）1 2s1 2s-1若r维向量组A的每个向量上添上n -r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A线性无关，则r s ； 向量组A能由向量组B线性表示，则r r（B）；向量组A能由向量组B线性表示o AX = B 有解； o r(A) = r(A, B)向量组A能由向量组B等价o r(A) = r(B) = r(A, B)8. 方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P ,L ,P，使A = PP L P ;12I1 2 I、矩阵行等价：A B o PA = B (左乘，P可逆)o Ax = 0与Bx = 0同解 、矩阵列等价：AB o AQ = B (右乘，Q可逆)； 、矩阵等价：A
