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1、2014高考直通车高考二轮攻略30讲第15讲 平面向量的基本性质与运算【课前诊断】1已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_解析由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)m4，从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)答案(4，8)2已知平面上三点A、B、C满足|3，|4，|5，则的值等于_解析|3，|4，|5，|2|2|2，故B90.则有0.由|cos(C)45()16，|cos(A)53()9，则原式0(16)(9)25.答案253若|a|b|，则ab或ab；若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；若ab，bc，则ac；若ab，b
2、c，则ac.其中真命题的序号为_解析由|a|b|可知向量a, b模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形ABCD中，|，但|与|既不相等也不互为相反向量，故此命题错误.由可得|且，由于可能是A，B，C，D在同一条直线上，故此命题不正确.正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确.当b0时，ac不一定成立.综上所述，正确命题的序号是.答案(南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试，11)4如图，在等腰三角形ABC中，底边BC2，若，则_解析：(解法1)由已知，则D为AC中点，()，.即()()，故AB2BC21.又BC2
3、，所以ABAC，cosA，所以()25.(解法2)取BC中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则B(1，0)、C(1，0)设A(0，m)，由，得D，(1，m)由，得，解得m2.这样E，则，(1，2)，所以.答案5设(1，2)，(a，1)，(b，0)，a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_解析据已知，又(a1,1)，(b1,2)，2(a1)(b1)0，2ab1，4428，当且仅当，a，b时取等号，的最小值是8.【例题探究】(2009江苏)设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ).(1)若a与b2c垂直，求tan
4、()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求证：ab.(1)解由a与b2c垂直，得a(b2c)ab2ac0，即4sin()8cos()0，tan()2.(2)解|bc|2(bc)2b2c22bcsin216cos2cos216sin22(sin cos 16sin cos )1730sin cos 1715sin 2，最大值为32，所以|bc|的最大值为4.(3)证明由tan tan 16，得sin sin 16cos cos ，即4 cos 4cos sin sin 0，故ab.(通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三)在中，已知，P为线段AB上的点，
5、且xy，则的最大值为 _ ,故,而在直线上，又,所以,根据基本不等式,.答案3ABCPQ如图，正ABC的边长为15，求证：四边形APQB为梯形；求梯形APQB的面积解：因=，故，且|=13，|=15，|，于是四边形APQB为梯形设直线PQ交AC于点M，则，故梯形APQB的高h为正ABC的AB边上高的，即从而，梯形APQB的面积为冲刺强化练习(15)1设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中0，若|2ab|a2b|，则等于_解析由|2ab|a2b|得3|a|23|b|28ab0，而|a|b|1，故ab0，即cos()0，由于0，故0，故，即.答案2(2012镇江调研)若平面
6、内两个非零向量，满足|1，且与的夹角为135，则|的取值范围为_解析如图，在OAB中，设，则，由题意得|1，OAB45，由正弦定理，得，所以|sin OBA，又0OBA135，所以|(0，答案(0，3已知向量a(cos10，sin10)，b(cos70，sin70)，则|a2b|_解析|a|b|1，abcos10cos70sin10sin70cos(1070)cos60，|a2b|.答案4已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角为_解析由条件知|a|，|b|2，ab(1，2)，|ab|，(ab)c，cos，其中为ab与c的夹角，60.aba，ab与a方向相反，a
7、与c的夹角为120.答案1205(2009南京模拟)已知|2，|2，0，点C在线段AB上，且AOC60，则的值是_答案46设两个向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是_解析e1e2|e1|e2|cos 60211，(2te17e2)(e1te2)2te7te(2t27)e1e28t7t2t272t215t7.由已知得2t215t70，解得7t.当向量2te17e2与向量e1te2反向时，设2te17e2(e1te2)，0，则2t27t或t(舍)故t的取值范围为(7，)(，)答案(7，)(，)7(2
8、012启东模拟)若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足，则_解析建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，则M，2.答案28已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，则向量与向量的夹角的取值范围是_解析由题意，得：(2cos ，2sin )，所以点A的轨迹是圆(x2)2(y2)22，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值答案9关于平面向量a，b，c有下列三个命题：若abac，则bc.若a(1，k)，b(2,6)，ab，则k3.非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_解析ab
9、aca(bc)0，a与bc可以垂直，而不一定有bc，故为假命题ab，162k.k3.故为真命题由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60，ab为其对角线上的向量，a与ab夹角为30，故为假命题答案10已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a(1，2).(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解(1)设c(x，y)，由ca和|c|2可得，或，c(2，4)或c(2，4).(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20，253ab20，ab，cos1，0，.11(2010江苏)在平面直角坐
10、标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(ABt)0，求t的值解(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)，所以|2，|4.故所求两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)，于是由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.12如图，在ABC中，已知AB3，AC6，BC7，AD是BAC的平分线(1)求证：DC2BD；(2)求的值(1)证明在ABD中，由正弦定理得.在ACD中，由正弦定理得.又AD平分BAC，所以BADCAD，sin
11、 BADsin CAD，又sin ADBsin(ADC)sin ADC，由得，所以DC2BD.(2)解因为DC2BD，所以.在ABC中，因为cos B.所以|cos(B)37.2014高考直通车高考二轮攻略30讲第16讲 平面向量的简单应用【课前诊断】1(2012重庆改编)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|_.解析a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得ac0，即2x40，x2.由bc，得1(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.答案2(2012江苏)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解析方法一坐标法以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，(，0)(x,2)x.又，x1.(1，2)(，1)(1，2)22.方法二用，表示，是关键设x，则(x1).()(x)x22x，又，2x，x.()2224.答案3(2012安徽卷改编)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，
