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1、阶段质量检测（三）推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了()A归纳推理B类比推理C没有推理 D演绎推理答案：B2数列3,5,9,17,33，的一个通项公式是()Aan2n Ban2n1Can2n1 Dan2n1答案：B3在ABC中，sin Asin Ccos Acos C，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D
2、等腰三角形解析：选C由sin Asin C0，即cos B0，则f(a)f(b)的值一定()A大于零 B等于零C小于零 D正负都有可能解析：选A因f(x)x3x是增函数且是奇函数，由ab0，ab，f(a)f(b)，f(a)f(b)0.7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的
3、成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.8命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法解析：选B从证明的过程来看，符合综合法的证明特点9观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.2B.2C.2D.2解析：选A观察分子中26537110(2)8.10用减函数
4、的定义证明函数f(x)x3在R上是减函数的小前提可以是()A减函数的定义B对R上的任意x1x2，都有f(x1)f(x2)C对R上的任意x1x2，都有f(x1)f(x2)D对R上的任意x1f(x2)解析：选D小前提可以是“对R上的任意x1f(x2)”或“对R上的任意x1x2，都有f(x1)0，y0，函数f(x)满足f(x)yf(xy)”的是()A指数函数 B对数函数C一次函数 D余弦函数解析：选A当函数f(x)ax(a0，a1)时，对任意的x0，y0，有f(x)y(ax)yaxyf(xy)，即指数函数f(x)ax(a0，a1)满足f(x)yf(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求12六个
5、面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2BD22(AB2AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ACBDCADB等于()A2(AB2AD2AA) B3(AB2AD2AA)C4(AB2AD2AA) D4(AB2AD2)解析：选CACBDCADB(ACCA)(BDDB)2(AAAC2)2(BBBD2)4AA2(AC2BD2)4AA4AB24AD2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13用三段论证明f(x)x3xcos x为奇函数的大前提是_答案：若yf(x)满足f(x)f(x)，则yf(
6、x)为奇函数14用反证法证明命题“若a，b是实数，且|a1|b1|0，则ab1”时，应作的假设是_解析：结论“ab1”的含义是a1且b1，故其否定应为“a1或b1”答案：假设a1或b115在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析：类比“面积比等于边长比的平方”可得正四面体的体积比等于棱长比的立方，即18.答案：1816.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；，依此类推设BAa1
7、 ，AA1a2 , A1A2a3 ， A5A6a7 ，则 a7_.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，所以ABACa12，AA1a2，A1A2a31，A5A6a7a16.法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，所以ABACa12，AA1a2，An1Anan1sinanan2n，故a726.答案： 三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，an有如下性质：(m，n，p，qN)通项anam(nm)d；若mnpq，则amanapaq；若mn2p，则aman2
8、ap；Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列bn 中，写出相类似的性质解：在等比数列bn中，公比为(0)，前n项和为Sn，bn有如下性质：(m，n，p，qN)通项bnbmnm；若mnpq，则bmbnbpbq；若mn2p，则bmbnb；Sn，S2nSn，S3nS2n(Sn 0)构成等比数列18(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn，且满足an2Sn(nN)(1)求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；(2)根据(1)的结论用三段论证明数列an是等比数列解：(1)由an2Sn，得a11；a2；a3；a4，猜想ann1(nN)(2)对于数列an，若p，p是非
9、零常数，则an是等比数列， 大前提因为数列an的通项公式ann1，且， 小前提所以通项公式为ann1的数列an是等比数列 结论19(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，E，F分别是AB，BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.证明：(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是ABD的中位线，所以EFAD，又EF平面ACD，AD平面ACD，所以直线EF平面ACD.(2)因为ADBD，EFAD，所以EFBD，因为CBCD，F是BD的中点，所以CFBD，又EFCFF，所以BD平面EFC.因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.20
10、(本小题满分12分)已知ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角证明：法一(分析法)：要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cos B0.又cos B，只需证明a2c2b20.即证a2c2b2.a2c22ac，只需证明2acb2.由已知，即2acb(ac)，只需证明b(ac)b2，即证acb成立，在ABC中，最后一个不等式显然成立B为锐角法二(综合法)由题意：，则b，b(ac)2acb2(acb)cos B0，又ycos x在(0，)上单调递减，0B，即B为锐角21(本小题满分12分)在同一平面内，若P，A，B三点共线，则对于平面上任意一点O，有，且1
11、.对这个命题证明如下：证明：因为P，A，B三点共线，所以m，即m()，整理得(1m) m，因为(1m)m1，所以1.请把上述结论和证明过程类比到空间向量解：类比到空间向量所得结论为：在空间中，若P，A，B，C四点共面，则对于空间中任意一点O，有xyz，且xyz1.对这个命题证明如下：证明：因为P，A，B，C四点共面，所以，即()()，整理得(1) ，因为(1)1，所以xyz1.22(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15co
