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1、存档编号赣南师范学院学士学位论文行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 1关键字 1Abstract 1Key words 1引言 21. 行列式的概念及性质 21.1 n 阶行列式的定义 21.2 行列式的性质 32. 行列式计算的几种常见技巧和方法 52.1 定义法 52.2 利用行列式的性质 62.3 降阶法 92.4 升阶法（加边法） 112.5 数学归纳法 122.6 递推法 143. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 163.1 拆行（列）法 163.2 构造法 173.3 特征值法 194. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 194.1 三角形行列式 194.2 “爪”字型行列式 204
2、.3 “么”字型行列式 214.4 “两线”型行列式 234.5 “三对角”型行列式 244.6 范德蒙德行列式 255. 行列式的计算方法的综合运用 275.1 降阶法和递推法 285.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 285.3 构造法和套用范德蒙德行列式 29小结 30参考文献 31行列式的若干计算技巧与方法摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等 代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特 的求解方法本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊 的行列式的求值方法如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种 计算方法以及 Vandermonde 行列
3、式、“两线型”行列式和“爪”字型行 列式等多种特殊行列式并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与 每种方法相适应的行列式的特征关键词：行列式行列式的计算方法 Vandermonde 行列式The Calculation of DeterminantAbstract: The determinant is a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its
4、special solution method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For example,the triangle method, order reduction method，mathematical induction method and Vandermonde determinant, two linear determinant，claw type determinant and so on. The paper also analyzes the cor
5、responding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.Key words: DeterminantThe calculation of determinantVandermondedeterminant引言：行列式的计算是高等代数的重要内容之一，也是学习过程的一个 难点对于低阶行列式，我们可以利用行列式的定义和性质计算但 对于高阶行列式，如果直接利用定义和性质计算，则计算量大，很难 得到结果因此，研究行列式的计算方法和技巧就显得十分必要本 文主要介绍
6、了几种计算方法和技巧，还有一些特殊行列式的计算方法1行列式的概念及性质1.1 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下：a11a21a12a22=a a a a ,11 22 12 21a11a21a31a12a22a32a13a23a33a aa+a aa+ aa a11 22 33122331132132-a a a- aaa- aaa11233212213313 2231从二、三阶行列式的内在规律引出 n 阶行列式的定义设有n 2个数，排成n行n列的数表aa.a11121naa a21222 n aa.an1n2nn即n阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的
7、乘积 的代数和，这里j j .j是1,2,，n的一个排列,每一项都按下列规aa1j1 2j2anj njn1 2 n则带有符号：当j j . j是偶排列时，带正号；当jjj是奇排列12n1 2 n时 , 带负号即aaa1112aa21221 na2 n工(-1)(j1j2.jn)a a a=1j1 4njn， aan 1n 2annj1j2 jn这里Z表示对所有n级排列求和.j1j2 jn1.2 行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变即aa.aaa.a11121n1121n1aa.aaa.a21222n=1222n2 aa.aaa.an1n2nn1n2nnn性质2 一个数乘行列式的一行（或列
8、），等于用这个数乘此行列 式即a11a12. a1na11a12. a1nk ai1kai2.k ain=kai1ai2 ainan1an2. annan1an2 ann性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样即aa.aa11121n11b + cb + c.b + c=b1 122nn1aa.aan1n 2nnn1a12b2a1na a11 12an2anna an1 n 2a1ncnann性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那 么行列式为零即a1
9、1a12a1na11a12a1nai1ai2ain=kai1ai2.ain:=0.kanka.i2kainai1ai2.ainan1a.n2annan1an2.ann性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变即a11a12.a1na11a.12a1na + cai1k1a + cai2k2.a + cainknai1a.i2ainak1ak2.aknak1a.k2aknan1an2.annan1a.n2ann性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即aiiai2 ainaiiai2*ainaiiai2 ainakiak2akn*akiak2 a 一knaiiai2ain*anian2 an
10、nanian2ann性质 7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零即a a11 120 0a a1,n-1In0 0 = 0 .a a . a an1 n2n,n-1 nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计 算量大，有一定的局限性0 0 0 1例1计算行列式 2 .0 3 0 04 0 0 0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4! = 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少具体的说，展开 式中的项的一般形式是a a a a .显然，如果j丰4，那么a = 0,1j1 2j2 3j3 4j41
11、1j1从而这个项就等于零.因此只须考虑ji = 4的项，同理只须考虑j = 3, j二2, j二1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 234a a a a，而e（4321）= 6，所以此项取正号.故14 23 32 410001002。二(-1)r(4321)a a a a = 24.030014 23 32 4140002.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该 方法适用于低阶行列式.2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：aaa1112130aa222300a33a1na2 na = a a .a ，3n1122 nnaa00 .011aa0 .02122aaa.0=a a .313233:11 22aaa- an1n2n3nn1aa.a1
