高考数学文科一轮总复习 第一篇集合与常用逻辑用语

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1、2019届高考数学复习资料第1讲集合及其运算知 识 梳 理1集合与元素(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系为属于或不属于关系,分别用符号或表示(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法(4)常用数集:自然数集N、正整数集N*(或N)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集2集合间的基本关系(1)子集:对任意的xA,有xB,则AB(或BA)(2)真子集:若AB,且AB,则AB(或BA)(3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集即A,B(B)(4)若A含有n个元素,则A的

2、子集有2n个,A的非空子集有2n1个(5)集合相等:若AB,且BA,则AB.3集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集:ABx|xA,或xB;交集:ABx|xA,且xB;补集:UAx|xU,且xAU为全集,UA表示A相对于全集U的补集(2)集合的运算性质并集的性质:AA;AAA;ABABA.交集的性质:A;AAA;ABAAB.补集的性质:A(UA)U;A(UA);U(UA)A.辨 析 感 悟1元素与集合的辨别(1)若x2,10,1,则x0,1.()(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n1,非空真子集的个数是2n2.()(3)若Ax|yx2,B(x,y)|yx2,则A

3、Bx|xR()2对集合基本运算的辨别(4)对于任意两个集合A,B,关系(AB)(AB)总成立()(5)(2013浙江卷改编)设集合Sx|x2,Tx|4x1,则STx|2x1()(6)(2013陕西卷改编)设全集为R,函数f(x)的定义域为M,则RMx|x1,或x1()感悟提升1一点提醒求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件如第(3)题就是混淆了数集与点集2两个防范一是忽视元素的互异性,如(1);二是运算不准确,尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心,如(6).考点一集合的基本概念【例1】 (1)(2013江西

4、卷改编)若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素,则a_.(2)(2013山东卷改编)已知集合A0,1,2,则集合Bxy|xA,yA中元素的个数是_解析(1)由ax2ax10只有一个实数解,可得当a0时,方程无实数解;当a0时,则a24a0,解得a4.(a0不合题意舍去)(2)xy2,1,0,1,2答案(1)4(2)5规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性【训练1】 已知aR,bR,若a2,ab,0,则a2 014b2 014_.解析由已知得0及a0,所以b0,于是a21,即a1或a1,又根据集合中

5、元素的互异性可知a1应舍去,因此a1,故a2 014b2 0141.答案1考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合Ax|2x7,Bx|m1x2m1,若BA,求实数m的取值范围(2)设UR,集合Ax|x23x20,Bx|x2(m1)xm0若(UA)B,求m的值解(1)当B时,有m12m1,则m2.当B时,若BA,如图则解得2m4.综上,m的取值范围是(,4(2)A2,1,由(UA)B,得BA,方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20,B.B1或B2或B1,2若B1,则m1;若B2,则应有(m1)(2)(2)4,且m(2)(2)4,这两式不能同时成立,B2;若B1,2,则应有

6、(m1)(1)(2)3,且m(1)(2)2,由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解(2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论【训练2】 (1)已知集合Ax|x23x20,xR,Bx|0x5,xN,则满足条件ACB的集合C的个数为_(2)(2014郑州模拟)已知集合A1,1,Bx|ax10,若BA,则实数a的所有可能取值的集合为_解析(1)由题意知:A1,2,B1,2,3,4又A

7、CB,则集合C可能为1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4(2)a0时,Bx|10A;a0时,BA,则1或1,故a0或a1或1.答案(1)4(2)考点三集合的基本运算【例3】 (1)(2013山东卷改编)已知集合A,B均为全集U1,2,3,4的子集,且U(AB)4,B1,2,则AUB_.(2)(2014唐山模拟)若集合My|y3x,集合Sx|ylg(x1),则下列各式正确的是_MSM;MSS;MS;MS审题路线(1)AUB3;(2)先分别求出集合M,S,再判断各式解析(1)由U(AB)4知AB1,2,3又B1,2,3A,UB3,4,AUB3(2)My|y0,Sx|x1,故只有正确答案(

8、1)3(2)规律方法 一般来讲,集合中的元素离散时,则用Venn图表示;集合中的元素是连续的实数时,则用数轴表示,此时要注意端点的情况【训练3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4,集合A1,2,3,B2,4,则(UA)B为_(2)已知全集UR,集合Ax|1x3,集合Bx|log2(x2)1,则A(UB)_.解析(1)UA0,4,(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1,得0x22,2x4,所以Bx|2x4故UBx|x2,或x4,从而A(UB)x|1x2答案(1)0,2,4(2)x|1x2数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要

9、先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决创新突破1与集合有关的新概念问题【典例】 已知集合A1,2,3,4,5,B(x,y)|xA,yA,xyA,则B中所含元素的个数为_解析法一(列表法)因为xA,yA,所以x,y的取值只能为1,2,3,4,5,故x,y及xy的取值如下表所示:12345101234210123321012432101543210由题意xyA,故xy只能取1,2,3,4,由表可知实数对(x,y)的取值满足条件的共有10个,即B中的元素个数为10.法二(直接法)因为

10、A1,2,3,4,5,所以集合A中的元素都为正数,若xyA,则必有xy0,xy.当y1时,x可取2,3,4,5,共有4个数;当y2时,x可取3,4,5,共有3个数;当y3时,x可取4,5,共有2个数;当y4时,x只能取5,共有1个数;当y5时,x不能取任何值综上,满足条件的实数对(x,y)的个数为432110.答案10反思感悟 (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算(2)以集合为载体的新定义问题,是高考命题创新型试题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决问题

11、的能力【自主体验】设A是整数集的一个非空子集,对于kA,如果k1A,且k1A,那么称k是A的一个“好元素”给定S1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有_个解析依题,可知由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”,则这3个元素一定是相连的3个数故这样的集合共有6个答案6基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1(2013安徽卷改编)已知Ax|x10,B2,1,0,1则(RA)B_.解析因为Ax|x1,则RAx|x1,所以(RA)B2,1答案2,12已知集合M1,2,3,N2,3,4,则下列各式不正确的是_MN;NM;MN2,3;MN1,4

12、解析由已知得MN2,3,故选.答案3已知集合M0,1,2,3,4,N1,3,5,PMN,则P的子集个数有_解析PMN1,3,故P的子集共有4个答案44已知集合Ax|x2x20,Bx|1x1,则A与B的关系是_解析集合Ax|1x2,Bx|1x1,则BA.答案BA5设集合Ax|x22x80,Bx|x1,则图中阴影部分表示的集合为_解析阴影部分是ARB.集合Ax|4x2,RBx|x1,所以ARBx|1x2答案x|1x26(2013湖南卷)已知集合U2,3,6,8,A2,3,B2,6,8,则(UA)B_.解析由集合的运算,可得(UA)B6,82,6,86,8答案6,87集合A0,2,a,B1,a2,若AB0,1,2,4,16,则a的值为

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