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1、高中数学第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数例题与探究苏教版必修4高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数例题与探究 苏教版必修4典题精讲例1 计算sin33cos27+sin57cos63.思路解析：题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将sin57化为cos33,cos63化为sin27，再逆用两角和差的正、余弦公式，则迎刃而解.解：原式=sin33cos27+cos33sin27=sin(33+27)=sin60=.或：原式=cos57cos27+sin57sin27=cos(57-27)=cos30=. 绿色通道：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求
2、值常用的方法. 变式训练 1(陕西高考，文13) cos43cos77+sin43cos167的值为_.思路解析：cos43cos77+sin43cos167=cos43cos77-sin43sin77=cos120=-.答案：- 例2 已知,(,),tan,tan是一元二次方程x2+33x+4=0的两根，求+.思路解析：由根与系数关系可得tan+tan，tantan，因此可先求tan(+)，根据其正切值就可以求得其角度.解：由题意,知tan+tan=,tantan=4,tan(+)=.又,(,)，且由知(,0)，(,0)+(-,0).+=. 黑色陷阱：本题易由,(,),得+(-,)，从而得出
3、+=或，而忽视了隐含条件tan0,tan0，可知A为锐角，所以sinA+cosA0，又(sinA+cosA)2=1+sin2A=答案：A 例3 已知tan=，tan=，0,则+2等于( )A. B. C.或 D.思路解析：选求+2的某一三角函数值，显然选择正切较简单.但得出tan(+2)=1，就判断选项为B，则非明智之举.解：tan2=，tan(+2)=1，tan=1，0.tan2=1,02,0+2.+2=.答案：B 黑色陷阱：若本题只考虑0，则+2(0,)，误解为或，原因是忽视了tan,tan的值对,取值范围的进一步限制. 变式训练 3(2006福建高考，文4) 已知(,)，sin=,则ta
4、n(+)等于( )A. B.7 C.- D.-7思路解析：由(,),sin=,则tan=,tan(+)=.答案：A 例4 (2006浙江高考，理6) 函数y=sin2x+sinx,xR的值域是（ ）A.-, B.,C.+,+ D.-,-思路解析：本题考查三角函数的性质，基础题.首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(x+)+B的形式再解.解：y=sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+.答案：C 绿色通道：三角函数的最值一般有两种思路，一是化为Asin(x+)+B的形式，二是化为A(sinx-b)2+c的形式利用二次函数的图象求解. 变式训练 4当
5、x,时，求f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期，最大值及此时的x值.思路解析：首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(x+)+B的形式再解.解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=sin(2x+)+2.周期T=.当x,时，2x+,.sin(2x+)-1,1,f(x)2-,2+.f(x)max=2+.由2x+=2k+得x=k+.又x,，x=.即当x=时，f(x)的最大值为2+.问题探究 问题1 如图3-1-1,在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于P0，以Ox为始边分别作出角,-，其终边分别和单位圆交于P1，P2，P3,由|=|，你能否导出两角差的余弦公式？图3-1-1 导思：利用向量将三角公式与几何图形联系起来，向量的“曼妙”让令人生厌的三角公式摇身一变为婀娜多姿的几何图形，起到了化腐朽为神奇的效果! 探究：能，由已知条件可知点P0，P1，P2， P3的坐标分别是P0(1,0),P1(cos,sin)P2(cos,sin),P3(cos(-),sin(-),|=,|=,由|=|导出公式:cos(-)-12+sin2(-)=(cos-cos)2+(sin-sin)2.展开并整理得2-2cos(-)=2-2(coscos+sinsin).所以cos(-)=coscos+sinsin(C(+).4
