《浙江地区高中数学第2章数列221第1课时等差数列精品学案新人教B版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江地区高中数学第2章数列221第1课时等差数列精品学案新人教B版必修（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时等差数列f1学习目标导航I1 .理解等差数列的概念I难点2 .掌握等差数列的通项公式及运用|重点、难点3.掌握等差数列的判定方法|重点)I，阶段1认知预习质疑1知识梳理要点初为基础初探教材整理1等差数列的含义阅读教材P35第一行P35例1 ,完成下列问题.等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.(2)符号语言：an+1an= d(d 为常数，nC N+).O微体照判断(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数
2、，则这个数列是等差数列.()(2)如果一个无穷数列an的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列.()(3)当公差d=0时，数列不是等差数列.()(4)若三个数a, b, c满足2b=a + c,则a, b, c一定是等差数列.()1 解析】(1) x.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列.2 2) X .因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.3 3) X.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列一一常数列.4 4) V.因 a, b, c 满足 2b=
3、 a+ c,即 b a= c- b,故 a, b, c 为等差数列.【答案】(1) x (2) X (3) X (4) V教材整理2等差数列的通项公式及等差中项阅读教材P35倒数第5行P37例3以上部分，完成下列问题.5 .等差中项(1)条件：如果a, A, b成等差数列.(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足 的关系式是a+b=2A6 .等差数列的通项公式以ai为首项，d为公差的等差数列an的通项公式an= ai + (n- 1)d.7 .从函数角度认识等差数列 an若数列an是等差数列，首项为 a,公差为d,则an= f (n) = ai + (n-1)d = nd+ (ai
4、d).(1)点(n, an)落在直线 y = dx+ (a d)上；(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d个单位.O衢体验1 .已知等差数列an中，首项a1=4,公差d=2,则通项公式an=.【解析】- a1 = 4, d=-2, .an = 4+( n 1) x( 2) = 6 2n.【答案】6-2n2 .等差数列1, 1, 3,，一89的项数是.【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可知89=1 + (n-1) - (- 2),所以 n=46.【答案】463 .方程x2+ 6x+ 1 = 0的两根的等差中项为 .【解析】设方程x2+ 6x+ 1 = 0的两根分别为X1,
5、X2,则X1 + X2=6,所以X1, X2的X1 I X2等差中项为A= 2=-3.【答案】3阶段2合作探究通关分组讨论疑难细为小组合作型等差数列的判定与证明类型1例已知数列 an的通项公式an=pn2+qn(p, qCR,且p, q为常数).(1)当p和q满足什么条件时，数列 an是等差数列？(2)求证：对任意实数 p和q,数列an+1an是等差数列.【精彩点拨】利用等差数列定义判断或证明an+1 an为一个常数即可.【自主解答】(1)欲使an是等差数列，则 an+i an= p(n+1) 已知数列xn的首项xi = 3,通项Xn=2np+nq(nC N+, p, q为常数)，且Xi, X
6、4,X5成等差数列，求p, q的值.【导学号：18082021】【精彩点拨】将X1, X4, X5用p, q表示出来，由xi, X4, X5成等差数列，即2X4= X1 + X5列出关于p, q的方程组求解+q(n+1) (pn2+qn) =2pn+p+q 应是一个与 n 无关的常数, 所以只有2P=0,即p=0时，数列an是等差数列.(2)因为 an+1 an= 2pn+p+ q,所以 an+2 an+1 = 2p( n+ 1) + p+q.而(an+2 an+1) - (an+1- an) = 2p 为一个常数，所以an+1 an是等差数列.等差数列的判定方法有以下三种：1定义法：an+1
7、-an=d常数 ne N+ ? an为等差数列；2 等差中项法：2an+1 = an+ an + 2 nCN+ ? an为等差数列；3通项公式法：an=an+ b a, b是常数，nC N+ ? an为等差数列 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.II再练一题1.判断下列数列是否是等差数列，并给出证明 (1) an=4-2n；(2) an= n2 + n.【解】(1)是等差数列.证明如下：. an+1 an = 42( n+ 1) (4 2n)= 4-2n-2-4+2n=- 2(常数), an是等差数列，且公差为一2.(2)不是等差数列.证明如下： a1= 2, a2=
8、 6, as= 12, a2 - a w a3 a2)类型2an不是等差数列步越昊等差中项的应用【自主解答】由xi=3,得2p+q=3,又 X4= 24p+ 4q, x5=25p+ 5q,且 xi + x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q,由得q= 1, p= 1.三数a, b, c成等差数列的条件是 b=f( a + c,力 或2b=a+c ,可用来进行等差数 列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证an为等差数列，可证 2an+i = an+ an+2 ne N+III再练一题2.若m和2n的等差中项为4,2 m和n的等差中项为5,则m与n的等差中项是 .【解析】 由m和2n的等
9、差中项为4,则m 2n=8,又由2m和n的等差中项为 5,则2m n= 10.两式相加，得n=6.m与n的等差中项为m2=6=3.探究共研型探究点|等差数列的通项公式及其应用探究1某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第一盏后，往后每隔50米安装一盏，试问安装第5盏路灯时距离第一盏路灯有多少米？你能用第一盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？【提示】 设第一盏路灯到第一盏路灯的距离记为a,第2盏路灯到第一盏路灯的距离记为a2,第n盏路灯到第一盏路灯的距离记为an,则a1, a,，an,构成一个以 d=0为首项，以d= 50为公差的一个等差数列.所以有 a1=0,
10、a2= aH-d = 0+ 50= 50,a3= a2+ d=a1+2d=0+ 2X50= 100,a4= a3+d= a1 + 3d = 0+ 3X50= 150,a5= a4+ d=a1 + 4d=0+ 4X50= 200,an= ad (n 1) d = 50n- 50,所以，第5盏路灯距离第一盏路灯 200米, 第n盏路灯距离第一盏路灯(50 n 50)米.探究2第一届现代奥运会于 1896年在希腊雅典举行，此后每 4年举行一次，奥运会 如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？【提示】 设第一届的年份为
11、a,第二届的年份为 a2,，第n届的年份为an,则ai, 32,，an,构成一个以ai= 1 896为首项，以d=4为公差的等差数列，其通项公式为 an = ai+(n-1)d= 1 896 + 4( n- 1) = 4n+ 1 892,即 an = 4n+ 1 892,由 an=2 016,知 4n+1 892 =2 016 ,所以 n=31.故2016年举行的奥运会为第 31届.已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差 数列的通项公式 an=& + (n1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量 探究3在等差数列an中，能用a1, d两个基本量表示 an,那么能否用an中任意一项
12、am和d表示an?【提示】由an = a1 + (n - 1)d,am= a + (m- 1)d,两式相减可得：an- am= (n-n)d,则 an= a(m+( n- m) d.例目(1)在等差数列an中，已知a4=7, a10= 25,求通项公式an；(2)已知数列an为等差数列，a3 = 5, a7=7,求 编的值.44【精彩点拨】 设出基本量a1, d.利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的般形式an= am+ ( n n)d求解.【自主解答】 (1)法一：= a4=7, a1c=25,a1 + 3d=7,ad 9d=25,得a1 = 2, d=3. an = 2+ (n 1
13、) x3= 3n 5, ，通项公式 an=3n5(nCN+). 法二：a4=7, ac = 25,a10 a4= 6d= 18, 1- d= 3, ，an=a4+(n 4)d = 3n5(nC N+).(2)法一：由5 a3=4,7a7= 4，55ai+2d=4，得ai+6d=-113解得 ai= 了，d= 4. ai5= ai+ (15 1) d11 =t+14XL 3 J31(4 厂 4 .法二：由 a7=a3+ (7-3)d,7 5即-4= 4+4d，解得d=-4.5 ai5= a3+ (15 3) d=4+ 12X名师am= a an= b,1 .应用等差数列的通项公式求 ai和d,运
14、用了方程的思想.一般地，可由ai + m- 1 d= a,得M,求出ai和d,从而确定通项公式ai+ n1 d= b,am= an+ ( m2 .若已知等差数列中的任意两项am, an,求通项公式或其它项时，则运用n) d较为简捷.再练一题3. 401是不是等差数列5, 9, 13,的项？如果是，是第几项?【解】 由 ai = 5, d=-9-(-5) = -4,得这个数列的通项公式为an= 5 一 4( n 1) = 一 4n 1.由题意知，401 = 4n 1,得n=100,即401是这个数列的第100项.阶段3体验落实评价1.数列an的通项公式an=2n+ 5,则此数列(A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列【解析】 an+i-an=2(n+1) + 5- (2n+5) = 2,an是公差为2的等差数列.【答案】A2.等差数列的前3项依次是x-1, x+1,2x+3,则其通项公式为()18082022】【导学号：A.an=2n5B.an=2n3C. an =
