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1、第8讲指数与指数函数考纲要求考情分析命题趋势1了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型2016全国卷，62015天津卷，72015山东卷，142015江苏卷，71指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查2指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查3指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇偶性、最值等分值：5分1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果_xna_，那么
2、x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个_正数_，负数的n次方根是一个_负数_零的n次方根是零当n是偶函数时，正数的n次方根有_两个_，这两个数互为_相反数_(a0)负数没有偶次方根(2)两个重要公式()n_a_(注意：a必须使有意义)2有理数的指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a！#(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a！#！#(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂_无意义_.(2)有理数指数幂的性质aras_ars_(a0，r，sQ)；(ar)s_ars_(a0，r，sQ)；(ab)r_arbr_(a0，b0，rQ)3指
3、数函数的图象与性质yaxa10a0时，_y1_；x0时，_0y0时，_0y1_；x1_在R上是_增函数_在R上是_减函数_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)与()n都等于a(nN*)()(2)2a2b2a b()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若am0且a1)，则mn.()(5)函数y2x在R上为单调减函数()解析(1)错误当n为偶数，a1时，mn；而当0an.(5)正确y2xx，根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数2函数f(x)的定义域是(A)A(，0B0，)C(，0)D(，)解析12x0，2x1，x0.3已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是
4、(A)A(1,5)B(1,4)C(0,4)D(4,0)解析当x1时，f(x)5.4不等式2x2x4的解集为_x|1x2_.解析不等式2x2x4可化为2x2x22，由指数函数y2x的性质可得，x2x2，解得1x2，故所求解集为x|1x25若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是！(，1)(1，)#.解析由题意知0a211，即1a22，得a1或1a0，a1)的图象，应抓住三个关键点(1，a)，(0,1)，和一条渐近线y0.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函
5、数图象数形结合求解【例2】 (1)函数yax(a0，且a1)的图象可能是(D)(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_1,1_.解析(1)函数yax(a0，且a1)的图象必过点(1,0)，故选D(2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可得：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1三指数函数的性质及应用指数函数性质问题的类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)(2)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)求解与指数函数有
6、关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决【例3】 已知函数f(x)exex(xR，且e为自然对数的底数)(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解析(1)f(x)exx，f(x)exx，f(x)0对任意xR都成立，f(x)在R上是增函数f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数(2)存在，由(1
7、)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立f(x2t2)f(tx)对一切xR都成立x2t2tx对一切xR都成立t2tx2x2对一切xR都成立t2t(x2x)mint2t20，又20，20，t，存在t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立1(2018山东德州一模)已知a，b，c，则(D)AabcBcbaCcabDbca解析yx为减函数，bc，bc0，且a1，如果以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)(A)A1BaC2Da2解析以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点
8、在y轴上，x1x20，又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01，故选A3函数y4x2x11的值域为(B)A(0，)B(1，)C1，)D(，)解析令2xt(t0)，则函数y4x2x11可化为yt22t1(t1)2(t0)函数y(t1)2在(0，)上递增，y1所求值域为(1，)，故选B4函数f(x)axloga(x1)(a0，且a1)在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(B)ABC2D4解析在0,1上yax与yloga(x1)具有相同的单调性，f(x)axloga(x1)在0,1上单调，f(0)f(1)a，即a0loga1a1loga2a，化简得1loga20，解
9、得a.易错点忽视对含参底数的讨论错因分析：对数函数、指数函数的底数含字母参数时，要分底数大于1和大于0小于1讨论【例1】 已知函数f(x)(axax)(a0且a1)在R上为增函数，求a的取值范围解析当a1时，ax在R上为增函数，yaxx在R上为减函数，yaxax为增函数f(x)为增函数，0，解得a3或a1，a3.当0a1时，yax在R上为减函数，yax在R上为增函数，yaxax在R上为减函数f(x)为增函数，0，解得3a1或1a3.又0a1，此时0a0，且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是(D)A(0,1)(1，)B(0,1)C(1，)D解析方程|ax1|2a(a0，且a1)有两个实数根转
10、化为函数y|ax1|与y2a有两个交点当0a1时，如图，02a1，即0a1时，如图，而y2a1不符合要求0a.课时达标第8讲解密考纲本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上一、选择题1(2016全国卷)已知a2，b4，c25，则(A)AbacBabcCbcaDcab解析因为a216，b416，c25，且幂函数yx在R上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以bac.2(2018河南洛阳模拟)已知函数f(x)2x2，则函数y|f(x)|的图象可能是(B)解析|f(x)|2x2|易知函数y|f(x)|的图象的分段点是x1，且过点(1,0)，(0,1)，故选B3已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(C)A9,81B3,9C1,9D1，)解析由f(x)过定点(2,1)可知b2，因为f(x)3x2在2,4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9，故选C4(2018山西太原模拟)函数y2x2x是(A)A奇函数，在区间(0，)上
