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1、精品第六讲立体几何新题型【考点透视】(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念(B)版.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球
2、的表面积、体积公式会画直棱柱、正棱锥的直观图.空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考
3、点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用典型例题例1如图，正三棱柱ABCA1BC1的所有棱长都为2,D为CC1中点.(I)求证：AB1，平面ABD；(II)求二面角AA1DB的大小；(m)求点C到平面ABD的距离.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解答过程：解法一：(I)取BC中点O,连结AO.QAABC为正三角形，AOBC.Q正三棱柱ABCAB1cl中，平面ABC，平面BCC1B1,AO，平面BCC1B1.连结RO,
4、在正方形BB1C1C中，O,D分别为BC,CC1的中点，BOBD,ABJBD.在正方形ABB1A中，AB1A,B,AB1，平面ABD.(n)设AB1与AB交于点G,在平面ABD中，作GF，D于F,连结AF,由(I)得AR，平面ABD.AFA1D,/AFG为二面角A%DB的平面角.在AAD中，由等面积法可求得AF迤,P1又Q AG - ABi .2,2sin/AFG5AG辟闻.AF4.5丁亏所以二面角AADB的大小为arcsin0.4(m)AABD中，BDAD而AB2五,SAAiBD6,SABCD1-在正三棱柱中，A到平面BCC1B1的距离为73.设点C到平面abd的距离为d.11_由VABCD
5、VCABD,付SABCDg/3SSAAiBDgd)333SABCD2dJSaAiBD2点C到平面A1BD的距离为匹2解法二：(I)取BC中点O,连结AO.QAABC为正三角形，AOBC.Q 在正三棱柱 ABC AB1C1中,平面ABC，平面 BCC1B1 ,AD，平面 BCCiBi .取B中点Oi ,以O为原点,uuruOB ,uuuuu uuu00 , OA的万向为x,y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0) , D( 1,1,0),A(0,2,73), A(0,0,73) , Bi(1,2,0),UULT- UUUUUTAB1 (1,2, J3) ， BD ( 2,1,0
6、) , BA(12电UULT UUTQ AB1gBDULUT UUT2 2 0 0, ABgBA1 4 3 0,UULT UUU ULUT UUTAB1 BD , AB1 BA -AB1,平面 ABD .感谢下载载UUUfUULfQ n AD , n AA1 ,(n)设平面aad的法向量为n(x,y,z).UULTULUTAD(1,1,M),AA(0,2,0).uuur_ngAD0,xy.3z0,y。，uuur_ngAA10,2y0,x3乙令z1得n（点,0,1）为平面AAD的一个法向量.由（I）知AB1，平面ABD,UAB1为平面ABD的法向量.uuurABi二面角AADB的大小为arcco
7、s力.4Luur.(出)由(n),AB为平面ABD法向重,unruuur_QBC(2,0,0),AB(1,2,V3)-uuuruuur点C到平面A1BD的距离dBCgAB1I2IJ2.uuurAB12V22小结：本例中（出）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面AMBi的距离转化为容易求的点K到平面AMBi的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法例2.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.（I）证明PQL平面
8、ABCD;（n）求异面直线AQ与PB所成的角；（出）求点P到平面QAD的距离.命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基Q本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角;方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法解答过程：方法一（I）取AD的中点，连结PM,QM.因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，所以ADPM,ADXQM.从而AD，平面PQM.又PQ平面PQM,所以PQXAD.0在PQ13.同理PQXAB,所以PQL平面ABCD.（n）连结AC、BD设ACBD。，由PQ，平面A
9、BCD及正四棱锥的性质可知上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N,连接PN.用叫PO1NONO1PONOOQ20Aoe2OQOA从而AQ/PN,ZBPN（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角因为pbJob2op2&2扬2123,pnJon2op2J(V2)2BN.0B20N2,(222)(2)210DDmPB2+PN2BN2931033所以cosBPN=.2PBPN2339从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.911（出）连结0M,则OM-AB2-OQ.22所以/MQP=45.由（I）知AD，平面PMQ,所以平面PMQ，平面QAD.过P作PHLQM平面QAD.从而PH的长是点
10、P到平面QAD的距离.32又PQPOQ03,PHPQsin450.2即点P到平面QAD的距离是322方法二(I)连结AC、BD,设ACBDO.由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，所以PO,平面ABCD,QO,平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ，平面ABCD.(I) , QOL平面空间直角坐标系(如图)0), Q (0, 0, 2), BABCD.故可分别以直线 CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立 由题条件，相关各点的坐标分别是 P (0, 0, 1), A(2方，0,(0 , 2V2 , 0).所以AQ ( 2 ,2,0,2)uurPB(0,2.2, 1)(n)由
11、题设知，ABCD是正方形，所以ACXBD.cosAQ,PB(出)由(11),点口的坐标是(0,21y2,0),AD(2亚，2拒,0),uuur_n AQ 0 ,日. 一 得n AD 0取x=1 ,得nPQ(0,0,3),设n(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，由、2xz0.xy0(1,1,-2).uuurr一工一PQn3匹所以点P到平面QAD的距离dr.n2考点2异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离典型例题例3已知三棱锥SABC,底面是边长为4J2的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求C
12、D与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解答过程：如图所示，取BD的中点F,连结EF,SF,CF,EF为BCD的中位线，EF/CD,CD/面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h,由题意知，BC4J2,D、E、F分别是一 1 .CD 2 6, EF CD 26,DF 2, SC 2Vs cefEF DF SC 6 .2 2 2-3 23 23在 Rt SCE 中，SE JSC2 CE22J3在 Rt
13、 SCF 中，SF SC2 CF24 24 230AB、BC、BD的中点,又EF6,Ssef3由于 Vc SEF Vs CEF2.332.3,解得3故CD与SE间的距离为小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程考点3直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化典型例题例4.如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA的中点，求BD到平面GB1D1的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解解答过程：解析一BD/平面GBDi,BD上任意一点到平面GBDi的距离皆为所求，以下求点O平面GBiDi的距离,BiD
14、iACi,BiDiAA,BiDi平面AACG,又BiDi平面60口1平面AiACCiGBiDi,两个平面的交线是OiG,作OHOiG于H,则有OH平面GBDi,即OH是O点到平面GBiDi的距离.ii_在010G中，SOiOGOiOAO_2V2V2.222, OH 号八i_i-又Soqg-OHOiG.3OHi22即BD到平面GBiDi的距离等于解析二BD/平面GBDi,BD上任意一点到平面GBiDi的距离皆为所求，以下求点B平面GBiDi的距离.设点B到平面GBDi的距离为h,将它视为三棱锥BGBiDi的高，则VbgbdV.CRR由于Sgrd-2J233瓜BGBiDiDiGBBi,GBiDi、，11ccc4VD1GBB1322223,4,626即BD到平面GRD1的距离等于小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离 .考点4 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解
