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1、课时素养评价 三十一平面向量线性运算的应用 (25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.=(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),所以|=2,|=4,|=6,所以|2+|2=|2,所以ABC为直角三角形.2.(2019临沂高一检测)在ABC中,D为BC边的中点,已知=a,=b,则下列向量中与同方向的是() 【解析】选A.因为D为BC边的中点,则有+
2、=2,所以a+b与共线,又因为 与a+b共线,所以选项A正确.3.(多选题)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.|a|=1C.abD.(4a+b)【解析】选B、D.如图,由题意,=-=(2a+b)-2a=b,则|b|=2,故A错误;|2a|=2|a|=2,所以|a|=1,故B正确;因为=2a,=b,故a,b不平行,故C错误;设B,C中点为D,则+=2,且,而2=2a+(2a+b)=4a+b,所以(4a+b),故D正确.4.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120时,
3、合力的大小为()A.40 NB.10 NC.20 ND. N【解析】选B.对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点.则直线DE的方程为_,直线EF的方程为_.【解析】由已知得点D(-1,1),E(-3,-1),设M(x,y)是直线DE上任意一点,则.又=(x+1,y-1),=
4、(-2,-2),所以(-2)(x+1)-(-2)(y-1)=0,即x-y+2=0为直线DE的方程.同理可求,直线EF的方程为x+5y+8=0.答案:x-y+2=0x+5y+8=06.设O是ABC内部一点,且+=-2,则AOB与AOC的面积之比为_.【解析】设D为AC的中点,如图所示,连接OD,则+=2.又+=-2,所以=-,即O为BD的中点,从而容易得AOB与AOC的面积之比为12.答案:12三、解答题(共26分)7.(12分)已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:.【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意有=(2,2),
5、=(-2,3),=(4,-1).因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).所以点E的坐标为.同理得点F的坐标为,=.又(-1)-4=0,所以.8.(14分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且=.求证:点E,O,F在同一直线上.【证明】设=m,=n,由=知E,F分别是CD,AB的三等分点,所以=+=+=-m+(m+n)=m+n,=+=+=(m+n)-m=m+n.所以=.又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上. (15分钟30分)1.(4分)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+(+),(0,+),则点P的轨迹一定通过
6、ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】选C.由题意得-=(+),即=(+),根据平行四边形法则,知+是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过ABC的重心.2.(4分)已知点A(2,0),B(-4,4),C(1,-1),D是线段AB的中点,延长CD到点E使|=2|,则点E的坐标为()A.B.C.D.【解析】选A.由已知得D(-1,2),因为|=2|,所以=2,设E(x,y),则有(-2,3)=2(x+1,y-2),所以所以3.(4分)在ABC所在平面上有一点P,满足+=,则PAB与ABC的面积的比值是_.【解析】由题意可得=2,所以P是线段AC的三等
7、分点(靠近点A),易知SPAB=SABC,即SPABSABC=13.答案:134.(4分)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+,(0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的_.【解析】由条件,得-=,即=,而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分BAC,即平分BAC,所以点P的轨迹必过ABC的内心.答案:内心5.(14分)若平面向量,满足|1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为,求与的夹角的取值范围.【解析】因为以向量,为邻边的平行四边形的面积为,所以|sin =.因为,满足|1,|1,所以sin ,因为(0,),所以,所以,夹角的取值范围是.1.已
8、知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为_.【解析】方法一:由O,P,B三点共线,可设=(4,4),则=-=(4-4,4).又=-=(-2,6),由与共线,得(4-4)6-4(-2)=0,解得=,所以=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).方法二:设点P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,所以(x-4)6-y(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).答案:(3,3)2.在ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边上靠近A点的一个三等分点,试问:在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PCBM?【解析】以B为原点,BC边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由于AB=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3, 4),C(6,0).则=(3,-4),由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点.所以=,于是M,所以=,假设在BM上存在点P使得PCBM,则设=,且01,即=,所以=+=(-6,0)+=.由于PCBM,所以+(4-6)4=0,=(0,1),所以线段BM上不存在点P使得PCBM.
