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1、初中数学函数知识点初中数学函数知识点1自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b那么此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx (k为常数，k0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点
2、P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：点A(x1，y1B(
3、x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。(4)最后得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，间隔 s是速度v的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。六、常用公式：1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/
4、23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/24.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 (注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)初中数学函数知识点2正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.(1) 解析式：y=kx(k是常数，k0)(2) 必过点：(0，0)、(1，k)(3)
5、走向：k>0时，图像经过一、三象限;k<0时，图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx b (k不为零) k不为零 x指数为1 b取任意实数一次函数y=kx b的图象是经过(0，b)和(-k/b，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx b,它可以看作由直线y=kx平移|
6、b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)(1)解析式：y=kx b(k、b是常数，k0)(2)必过点：(0，b)和(-k/b，0)(3)走向：k>0，图象经过第一、三象限;k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限;b<0，图象经过第三、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小.(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.(6)图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位;当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单
7、位.初中数学一次函数知识点汇总4、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：(0，b)，(-k/b，0).即横坐标或纵坐标为0的点。初中数学一次函数知识点汇总5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)6、正比例函数和一次函数及性质7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：(1)根据条件写出含
8、有待定系数的函数关系式;(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;(3)解方程得出未知系数的值;(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。初中数学函数知识点3I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)那么称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式：y=
9、ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P(h，k)交点式：y=a(x-x)(x-x)仅限于与x轴有交点A(x，0)和B(x，0)的抛物线注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x,x=(-bb2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的.图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，
10、坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，那么抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
11、=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状一样，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右
12、平行挪动h个单位得到，当h<0时，那么向左平行挪动|h|个单位得到.当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行挪动h个单位，再向上挪动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行挪动h个单位，再向下挪动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线向左平行挪动|h|个单位，再向上挪动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线向左平行挪动|h|个单位，再向下挪动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;因此，研究抛物线y=
13、ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a).3.抛物线y=ax2+bx+c(a0)，假设a>0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大.假设a<0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大;当x-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与
14、坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c(2)当=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根.这两点间的间隔 AB=|x-x|当=0.图象与x轴只有一个交点;当<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.5.抛物线y=ax2+bx+c的最值：假如a>0(a<0)，那么当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a.顶点的横坐标，是获得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为图象经过三个点或x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a0).(2)当题给条件为图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0).(3)当题给条件为图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.第 页 共 页
