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1、第二章点集简介仏度量空间力刃维欧氏空间2聚点内点界点3开集闭集完备集令 4直线上的开集闭集完备集的构造引言第一章叙述了集合的慨念:及其运算力那里的集合只提到其中的元素歩以及元素的 个数（有限力可数无限另不可数无限等等）汐?AT涉丈2界合各个兀京之I日I圳荀杲种H本章将研究一种特殊的集合5空间中的点集 所谓空间:是一类具有某种结构的集合。是集合内部的一种结构。朋如，实直线R构成一维空间、“任意两点间笔辭实数之间可以引进IB则运算沏等。 是其中的结构。本章着重研究“维歐氏空间。1.度量空间，维欧氏空间度量空间定义设是任意一个非空集合小X，都有 唯一确定的实数徽E与之对应且满足1 （非负性） （x）
2、O0（x）= Oo x=y2 （三点不等式）（x,y）w（x,z） + （y,z）基间（或距离空间）设X是度量空间，则X中度量d具有对称性 事实上，在定义中，令心再由1）有d（&肿（心）弋（护冋（护）由x$次序是任意的场知d（yx） sd（x5y） 所以d阴=d（a定JG如果g是度量空间，Y是X的一个 非空子集少则（少）也构成一个度量空 间称为（x,）的子空间设X是度量空间则X中度量d具有对称性 已知，禺血是度量空间求证：d(x,y)二d(y,x)证明二由1)可知”(兀，兀)=。在三点不等式中取ZF，有 d(x,y)d(x,x) + d(y,x) = d(y,x)由于x和y的次序是任意的另同理
3、可证d(y,x)d(x,y).即 (兀 y) = (y，x)下面我们举一些度量空间的例子例欧氏空间Rn对Rn中任意两点规定距离1（2） = （ E G -）2）。证明：由度量空间定义可知1显然成立。2由柯西不等式nn n (Z ai勺化(工/)(/) 得到 i=li=l i=l in ?2S (a +b.)二 s a% j n n b +b i=l ) i=l z i=l znn r. n r.+ 2 a b + b Y a +2i= i 1 i=l 1 i=l 1i=l 11 i=l 1令ai=兀一 z.,b=z. 一 y I I I I I代入上式ncZ (兀_几)2笛 -t cc1=1
4、In9I x-zY + -t I Ii=2 (z_y)22i=l两边开方得i=l护-铲+J护TPn9d(x,y)=工(x：-y：r 1 f A I I=d(x,z)+(y5z)所以 d(x,y)0的点的全体少即集合叩(尸/。)小称为点卩。的5邻域记作/7(Po,5) = J(P,Po) = P|j(P,Po)O 其I1 P。邻域的中心称为邻域的半径1邻域的基本性旗：(1) Pet7(P)显然成立(2) 对于5(p)和j(p),存在使得upycupynup)证明：设 t/1(P) = t/(P,51), U2(P) = U(P,32) 取XmingG,则眈0使UP) = U(P,5)u U(P)
5、CU(P)(3)对于 2e(P)存在U(Q)uU(P)证明：因为Qw U(p) = U(P,C取 51:0510： BN g N + , /nN 有 |匕-P|N 有 P汗 u (P)2点集间距离定义两个非空点集A*的距禺为d(A,B) = inf d(F,Q) = infd(P,Q) P g A.Q g BPwEQwE3点集间直径定义畫一个非寧焦集E的爵定义为（ 傘） JS（E） = sup/（P,dk丿Q ） P,Q w EPwEQwE 一例如 E = (0,l)U2,则 5(E) = 24有界集设恵为炉中一点集确虾面三个说法等价5(E) 0,Vxe,J(x,0)x. 0，/无=(斤卫2，
6、卫) E，5区IMCD开区间定JG点集ga. x. bi = 1, 2 - ,nCQc称为一个檢维）开区I亂点集（兀1宀，乙（2）闭区间定义：a. x. b .i = 1,2,- ,nlII瞬一个的维闭Z间（或方开右闭区I训）(3)区间的定义:开区间問！Z间统称为区间记作八区间的飲边长笏也“i = 1,2-，n称为区间啲第i个边长励Q)n区间的“体积網蛊口 0 一勺)i=称为区间1的“体积” Q记作I。分别表为区间长度，矩形面积立体体积例2 记 l2=x = xkk=iOO Q工 XT oo k=l 1y=yktlEl2定义(7) =总)2住则d是“上的距离证明 1显然成立2对固定的佝，。，）
7、和（歹,歹2,儿，0，。，）都是Rn中元素,故对固定的尬、有柯西不等式no込岁）n o n o隹W)不等式右端力no令TOO 得OO c)(X b?y k=l K再令左端m oo即得OOC00(E纬行)工k=l K K k=l00Q 00 Q 0000 Q 00 Q 0000 Q coZ（S+S）二 I at + 2l 叭 + S 听 Z o； + 2（ Y s Y）2+ I b；k=i K K k=l K k= K K k= K k= K k=i K k= K k=i K二（z 彳）2 + （ z 022kJ K k= K令 ak=XkZebk=Zkyk 代入上式两边开方（兀，y）=所以（g） + d （乙 y）即”是度量空间
