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1、因式分解方法总结一、定义 定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式 分解（也叫作分解因式）.因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.二、因式分解三原则1分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式） 2最后结果只有小括号3.最后结果中多项式首项系数为正（例如：3x2 + x二x（-3x +1）三、基本方法（一）提公因式法 ma + mb + me = m（a + b + c）如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成 两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做 提取公因式法 .找公因式的一般步骤：（1）若
2、各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式.（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出 “-”号，使括号内的第一项的系数 成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留 1把家守；提负要变号，变形 看奇偶.例女口am + bm + cm = m（a b e）a（ x y） + b（ y x） = a （x y） b（ x y） = （a b）（ x y）注意：把2a +1变成2（a + ；）不叫提公因式.24例1、 分解因式x3
3、2x2 x （2003年淮安市中考题）解：x3 一 2x2 一 x = x（x2 一 2x 一 1）例 2、 993 99 能被100 整除吗？还能被那些数整除?（二）公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.1、平方差公式： a2 一 b2 = （a + b）（a 一 b）2、完全平方公式：a2 土 2ab + b2 = （a 土 b）24、立方差公式：a3 -b3 = (a -b)(a2 + ab + b2)5、a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)26、完全立方公式：a3 土 3
4、a2b + 3ab2 土 b3 = (a 土 b)37、a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)例3、分解因式a2 + 4ab + 4b2 (2003年南通市中考题) 解：a 2 + 4ab + 4b 2 = (a + 2b)2例4、已知a,b, c是AABC的三边，且a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca，则AABC的形状是()A 直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形 D 等腰直角三角形解: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2a
5、b + 2bc + 2can (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 n a = b = c(三) 分组分解法 能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式分法、三一分法.1. 分组后能直接提取公因式.例5、分解因式 am + an + bm + bn.解:原式=(am + an) + (bm + bn)=a(m + n) + b(m + n) 每组之间还有公因式！ =(m + n)(a + b)例 6、分解因式 2ax - 10ay + 5by - bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式二(2ax 一 10ay) + (5b
6、y 一 bx)=2a(x -5y) -b(x -5y)=(x-5y)(2a-b)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式二(2ax 一 bx) + (-10ay + 5by) = x(2a - b) -5y(2a - b) =(2a -b)(x-5y)练习：分解因式 (1)a2 一ab + ac 一bc(2)xy 一x一 y +12. 分组后能直接运用公式例7、分解因式：x2 - y2 + ax + ay解: 原式二(x2 - y2) + (ax + ay) = (x + y)(x- y) + a(x + y) = (x + y)(x- y + a)例8、分解因式：a2 2ab + b
7、2 c2解： 原式二(a2 - 2ab + b2) - c2 = (a - b)2 - c2 = (a -b - c)(a -b + c)练习：分解因式 (1)x2 - x-9y2 -3y(2)x2 - y2 - z2 -2yz(四) 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 1.二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 x2 + (p + q)x + pq二(x + p)(x + q)进行分解特点： (1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积； (3)一次项系数是常数项的两因数的和例9、分解因式：x2 + 5x + 6 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2X3
8、=(-2)X(-3)=lX6=(-l)X(-6)，从中可以发现只有2X3的分解适合, 即 2+3=5.1. 2解:x 2 + 5 x + 6 = x 2 + (2 + 3) x + 2 x 313=(x + 2)( x + 3)1X2+1X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于 次项的系数.例10、分解因式：x2 7x + 6解：原式二 x 2 +(-1) +(-6)x +(-1)(-6)1 一 _ 一一 -1二(x 1)( x 6)16-1)+(-6)= -7(3) x2 + 4x-5(3) x2 -10x-24练习、分解因式(1) x2 +14
9、x+ 24(2) a2 -15a +36练习、分解因式(1) x2 + x-2(2) y2 - 2y-152. 二次项系数不为1的二次三项式 ax2 + bx + c 条件：(1)(2)(3) 分解结果：11 2例11、分解因式： 3x2 -11x +10 分析：1_ -23-5(-6) + (-5) = -11解： 3x2 -11x+10=(x-2)(3x-5) 练习、分解因式(1) 5x2 +7x-6(3) 10x2 -17x + 33. 二次项系数为1的齐次多项式 例12、分解因式： a2 -8ab -128b2 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分
10、解。1 X 8b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a2 -8ab -128b2=a2 +8b + (-16b)a +8bx(-16b)=(a+8b)(a -16b)a = a aa 、-1 21 c = c ca /1 2 2b = a c +a cb =1 2 2 1ax2 +bx+ c=(a x +c )(a x +c )2c1c2a c +a c1 2 2 12)3x2 -7x+ 24)-6y2+11y +10练习、分解因式(1) x2 -3xy+ 2y2(2) m2 -6mn+8n2(3) a2 -ab -6b24.二次项系数不为1的齐次多项式例 9、2x2 一 7xy +
11、6y 21 -2y2 3y(-3y) + (-4y)二 _7y解：原式=(x - 2 y )(2 x - 3 y) 练习、分解因式：(1) 15x2 + 7xy例 10、x 2 y 2 - 3 xy + 2把xy看作一个整体1 -1-2(-1) + (-2)= -3解：原式=(xy -1)( xy - 2)4y2(2) a2x2 -6ax + 8思考：分解因式：abcx2 + (a2b2 + c2)x + abc(五) 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入 然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.例 11、分解因式
12、(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12解：令 y 二 x2 + x贝 y原式=(y+1)(y+2) 一12 = y 2+3 y 一10 =(y+5)(y2)=(x2 + x + 5)( x2 + x 2) = (x2 + x + 5)( x + 2)( x 1)例12、分解因式(1) 2005x2 - (2005 2 -1)x-2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1)设 2005= a，则原式二 ax2 (a2 1)x a=(ax +1)( x - a)=(2005 x +1)( x - 2005)(2)型如abcd + e的多
13、项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘原式二(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x 2 + 5 x + 6 = A，则 x 2 + 7 x + 6 = A + 2 x原式二(A + 2 x) A + x 2 = A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x)2 = (x 2 + 6 x + 6)2练习、分解因式 (1) (x2 + xy + y2)2 -4xy(x2 + y2)(2) (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) + 90(3) (a2 +1)2 + (a2 + 5)2 4(a2 + 3)2(六) 拆项、添项法 这种方法
14、指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合 于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则 下进行变形.例 13、分解因式bc(b + c) + ca(c-a) -ab(a + b)解:原式=bc(c - a + a + b) + ca(c - a) - ab(a + b)=bc(c - a) + bc (a + b) + ca(c - a) - ab(a + b)=bc(c - a) + ca(c - a) + bc(a + b) - ab(a + b)=(be + ca)(c - a) + (bc - ab)(a + b)=e(e
15、 - a)(b + a) + b(e - a)(a + b)=(e + b)(e - a )(b + a)(七) 配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差 公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注 意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例14、分解因式x2 + 4x + 3解：原式=x2 + 4 x + 4 4 + 3 = (x + 2)2 1 = (x + 2 + 1)(x + 2 1) = (x + 3)( x +1)(八) 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例 15、分解因式a2(b 一e) + b2(e 一a) + e2(a 一b)解：原式=a2(b-e) -a(b
