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1、四川省成都市高中数学第二章随机变量及其分布第7课时离散型随机变量的综合应用同步测试新人教A版选修2 1.已知X的分布列为X-101Pm有以下三个结论:E(X)=-;D(X)=;P(X=0)=.其中正确结论的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】由分布列知P(X=0)=,E(X)=(-1)+1=-,D(X)=+=.故正确.【答案】C2.已知离散型随机变量的分布列如下:012P0.33k4k若随机变量=2+1,则的数学期望为().A.1.1B.3.2C.2.2D.4.4【解析】由0.3+3k+4k=1得k=0.1,E()=00.3+10.3+20.4=1.1,E()=2E()+1=21.1+
2、1=3.2.【答案】B3.某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若命中一次得10分,没命中不得分,命中次数为X,得分为Y,则E(X),D(Y)分别为().A.0.6,60B.3,12C.3,120D.3,1.2【解析】由题意知XB(5,0.6),Y=10X,E(X)=50.6=3,D(X)=50.60.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120,故选C.【答案】C4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,若小明一周内每天都在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他连续5天等车时间不超过10分钟的期望和方差分别是().A.和B.和C.和D.和【
3、解析】如图,画出时间轴.小明到达发车站的时刻会随机地落在图中线段AB上,而当他到达发车站的时刻落在线段AC或DB上时,才能保证他等车的时间不超过10分钟.根据几何概型,所求概率P=.因为小明一周内每天等车时间不超过10分钟的概率都相同,所以小明连续5天等车时间不超过10分钟的天数符合二项分布.依题意可得XB.所以E(X)=np=5=,D(X)=np(1-p)=5=.【答案】B5.随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)=,E()=1,则D()=.【解析】设P(=1)=p,则P(=2)=-p.由E()=0+1p+2=1,得p=.故D()=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=.【答案】6.某
4、项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖,且相应获奖概率是以a1为首项,2为公比的等比数列,相应奖金是以700元为首项,-140元为公差的等差数列,则参与该游戏获得奖金的期望为元.【解析】a1+2a1+4a1=1,a1=,E()=700+560+420=500(元).【答案】5007.某师大附中高一研究性学习小组,在某一高速公路服务区,从小型汽车中按进服务区的先后,以每间隔10辆就抽取1辆的抽样方法抽取20名驾驶员进行询问调查.将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段:70,75),75,80),80,85),85,90),90,95),95,100,统计后得到如图所示的频率分布直方图.(1)
5、此研究性学习小组在采集中,用到的是什么抽样方法?并求这20辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值;(2)若从车速在80,90)内的车辆中任意抽取3辆,求车速在80,85)和85,90)内都有车辆的概率;(3)若从车速在90,100内的车辆中任意抽取3辆,求车速在90,95)内的车辆数的数学期望.【解析】(1)此研究性学习小组在采样中,用到的抽样方法是系统抽样.这20辆小型汽车车速的众数的估计值为87.5 km/h,中位数的估计值为87.5 km/h.(2)车速在80,90)内的车辆有(0.2+0.3)20=10辆,其中车速在80,85)和85,90)内的车辆分别有4辆和6辆.设事件Ai为“车速在
6、80,85)内有i辆车”,事件Bj为“车速在85,90)内有j辆车”,事件A为“车速在80,85)和85,90)内都有车辆”,P(A)=P(A2B1)+P(A1B2)=+=.(3)车速在90,100内的车辆共有7辆,车速在90,95)和95,100内的车辆分别有5辆和2辆.若从车速在90,100内的车辆中任意抽取3辆,设车速在90,95)内的车辆数为X,则X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列为X123P车速在90,95)内的车辆数的数学期望为E(X)=1+2+3=.拓展提升(水平二)8.已知随机变量X的分布列为XmnPa若E(X)=2,则D(X
7、)的最小值为().A.0B.2C.4D.无法计算【解析】依题意有a=1-=,所以E(X)=m+n=2,即m+2n=6. 又D(X)=(m-2)2+(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,所以当n=2时,D(X)有最小值0.【答案】A9.从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽取3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为,则E(5+1)=().A.2B.1C.3D.4【解析】的可能取值为0,1,2,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.所以的分布列为012PE()=0+1+2=,所以E(5+1)=5E()+1=5+1=3.【答案】C10.退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背
8、景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在20,80内的600人进行调查,并按年龄层次绘制频率分布直方图,如图所示.若规定年龄分布在60,80内的人为“老年人”,将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在20,80的人口分布的概率.从该城市年龄段在20,80内的市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为X,则随机变量X的数学期望为.【解析】由频率分布直方图可知,“老年人”所占频率为,从该城市年龄段在20,80内的市民中随机抽取3人,抽到“老年人”的概率为.随机变量X服从二项分布,且XB,随机变量X的数学期望E(X)=3=.【答案】11.如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望E(V).【解析】(1)从6个点中随机选取3个点,共有=20种选法,选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有=12种,故P(V=0)=.(2)V的所有可能取值为0,P(V=0)=,P=,P=,P=,P=.因此V的分布列为V0P故E(V)=0+=.
