第6讲 分形几何学

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1、第6讲 分形几何学主要内容：一、概述二、分维的测定方法（重点内容）三、分维应用实例（重点内容）四、问题讨论一、概述分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot） 1975年首先提出 的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和 方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界 中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复 杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应 用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质

2、、材料、工程技术等 学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在些前沿课题上取得了较 大的进展。1、基本概念（1）整数维与分数维“维”（dimension）是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体 所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普 通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数（x，y，Z）代表空间的 一点：n维空间的一点一般可用n个实数（xl，x2,，xn）来表示。在相对论中，所讨论的 时空是四维空间，时空的点，可用坐标（x，y，z,t）来表

3、示，其中t表示时间。可见时空空 间的维数也是整数。然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如 BBMandelbrot 在 其 l982 年出版的自然分形几何学一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形， 闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家 Benoit B. Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数 分数维（fractal dimension）的新 概念。例如，英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分 数维描述的几何对象，都具有自相似性。（2）自相似性与无标度区所谓自相似性（sel

4、f-similarity）,是指事物或现象中局部与整体在形态、功能和信息 等方面具有统计意义上的相似性。自然界中的许多客体，如云朵、山脉、海岸线、树、肺脏， 甚至描述经济现象的图形,都具有“自相似性”,即局部与整体的形状相似,局部的局部也 与整体相似。例如,一段用放大的比例尺画出来的海岸线与整条海岸线形状是相似的；一棵 树干分为二支,每支又分为二支这棵树的局部与整体的形状相似。事实上,地质体大多 具有自相似性,一条断层可能以不同比例尺存在,而其外表却十分相像。因此,地质学家长 期以来凭直觉认识到了这一基本事实,从而形成了一个不言而喻却是不可改变的原则,即任 何地质体的照片必须附上一个比例尺参照

5、物,在野外拍摄的地质照片中通常附上已知尺寸的 某种普通物品,例如铅笔、地质锤或人体。自然界事物自相似性只在一定尺度范围内才能出现,这个具有自相似性的范围叫做无标 度区。在无标度区内,放大或缩小几何对象的尺寸,整个结构并不改变,即其形状与标度无 关。在无标度区外,自相似现象不存在。（3）分形与分形几何学分形是指具有自相似性或自相似结构的几何对象。例如,弯弯曲曲的海岸线、起伏不平 的山脉、粗糙不平的断面、变化无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管,令人眼花 燎乱的满天繁星,它们的共同特点是极不规则或极不光滑,然而放大或缩小若干倍后其 结构与功能又具相似性,因此,这些现象都是分形。同样,地质现象

6、中的自相似现象也十分 普遍。例如地壳的变形是一自相似过程,变形过程中构造事件的空间分布以及变形后构造带 中不均匀体的分布常常是分形的；岩石的破坏也是一自相似过程,破坏过程中的微破裂事件 的空间分布以及破坏后断裂带中不均匀体的分布也常常是分形。因为分形都具有极不规则的复杂形状,因而用整数维的概念很难对它们进行定量描述。 然而,根据分形的观点,却可以从中找到自相似结构,并用分维对其形状进行描述。 1982 年由 B.B.Mandelbret 创立的分形几何学就是研究无规则现象或分形的数学方法。它既是数 学的最新研究领域之一,又是国内外地学研究的前沿课题。2、分维的定义和分类对于D维规则图形，把图形

7、的每一个界面分成b份，则图形被分成N=bD份，自相似维数 为：IM以上定义只适用于具有严格自相似性的图形。为了能够适用于包括随机图形在内的任意图形，人们给分维引入了多种定义。在地学研究中，一般用下列 3 种定义：容量维(D)k若N(d)是能够覆盖住一个点集的直径为d的小球的最小数目，则该点集的容量维定义 为：(2)信息维(片)在容量维的定义中，只考虑了直径为d的小球数目与d之间的关系，而未考虑研究对象。因此，对于非确定性的研究对象，这种定义仍不实用。于是，引入了信息维的定义：其中，p (d)为研究对象落在第i个球中的概率。若概率分布均匀，则p(d)=l/N, D=D。iii k般情况下，D W

8、D,可见信息维是容量维的一种推广。ik(3)相似维(D)S相似维是应用最多的一种分维。对于某一具有自相似性的研究对象，若其可以被分为N 个单元(N随相似比r变化)，且每一单元按相似比r与整体相似，则定义:分维的上述定义在数学上都是很严密的。但在实际问题及实验测定中。长度是有界限的。通常，如果N(r)随r的变化存在以下关系:则 D 就是该图形的分维。3、分维在地质学上的应用作为表征研究对象几何复杂程度和几何分布关系的参数。分维在地学，尤其是工程地质、 环境地质领域得到广泛应用，在处理过去难以解释或难以解决的复杂问题方面显示了具大威 力，得到了一系列准确的解释和定量结果。(1) 地质体结构的分形研

9、究 岩石结构面几何特征 岩石结构面是指存在于岩体内的面、缝、层、带状地质界面。结构面不仅破坏了岩体的 完整性，直接影响岩体的力学性质和应力分布状态，而且很大程度上影响着岩体的渗流途径 和破坏方式。因此在岩石力学、水文地质与工程地质学领域都非常重视岩石结构面研究。岩石结构面的几何特征包括结构面的方位、形态、规模、间距或密度、隙宽、粗糙度、 璧面强度和充填性等。由于结构面空间形态的不规则性、组成结构面网络的复杂性，阻碍了 人们对它的深入认识。运用分形几何学研究结构面几何特征及其组成的网络系统，可以得到 许多非常有意义的结论。 岩土结构 有人对岩石颗粒和土颗粒的粒度分布、岩石空隙和土粒间孔隙的大小分

10、布、颗粒表面形 态等进行研究，发现它们均符合分形分布规律。 矿物晶体结构 传统的晶体结构模型是以欧几里德空间为基础建立起来的。现在有人提出用分形空间建 立晶体结构模型，并有人用计算机模拟出一些理想的分形晶体模型。(2) 地震学中的分形研究 地震强度的自相似性地震震级(M)与地震频度(N)有以下关系：lgN=a-bM震级与地震波能量(E)的关系为：LgE=A+1.5M 由以上两式可得： 地震的时间分维 有人通过研究发现，在适当的定长时间段内有震的时段数与时间间隔符合分形分布关系。 地震的空间分维 地震震中的分布具有某种程度的自相似性。(3) 地貌学中的分形研究 地表的起伏形态可用分维描述。在一个

11、流域内，水道的数目、长度、纵比降、流域面积 等均具有自相似性。(4) 岩石断裂与破碎 利用分维可以很好地描述岩石断裂面的粗糙不平，综合反映岩石材料的微结构、组构演 化、变形和破坏性质，把宏观力学性质与微观结构定量地联系起来。在研究一个区域的断裂 构造分布时，可分别研究断层几何结构的分维和断层空间分布的分维。在这种情况下，断层 分维是断层数量、规模、组合形式、水平延伸长度以及分布不均匀性的综合体现，可以作为 研究区断裂构造复杂程度的量化指标。(5) 地学数据的分维处理 地学数据在坐标图上表现为几何点或几何曲线，对这些点的分布特征和曲线的几何特征 进行分维分析，就可以间接地分析这些数据的时空特征。

12、二、分维的测定方法分形研究中，已提出许多不同的分维测定方法，可以根据不同的研究对象和不同的研究 目的选用不同的测定方法。下面只介绍四种基本方法。1、码尺法取长度为 r 的码尺逐一覆盖曲线(断层迹线、地表面或岩石破裂面等与一垂直切面的交线),以所需码尺总数N(r)乘以码尺长度r得到该曲线的近似长度L(r)；随着r的缩小，L(r)将增大，具有：在实际应用码尺法测定分维时，将一组码尺长度r及与其对应的一组断层长度L(r)标ii在lnL(r)-lnr双对数坐标图上(i=l,2,，n),便可用一元线性回归方法拟合出一条直线: lnL(r)=a+bLnr式中，a是常数，b是直线的斜率。可得:LnL(r)=

13、lnA+(1-D)lnr令：a=LnA， b=l-D，即可得到式lnL(r)二a+bLnr。该曲线的分维：D=l-b。在对不同的曲线 进行比较研究时，常以拟合直线斜率的绝对值作为曲线的相似维。2、圆覆盖法一条断裂带往往由方向、长度、几何形态不同的多条断层斜列而成。对于类似断裂带的 研究对象，不能用码尺法，而要用圆覆盖法。圆覆盖法与码尺法类似。但用不同半径(r , i=1, 2,，n,)的圆去覆盖断裂带，断i裂带的长度L(r)与圆的半径(r )有如下关系：iiL(r)=2r.N(r)iii式中，N(r)为覆盖断裂带所需半径为r圆的最小数目。ii将r和L(r)(i=l, 2，n)两组数据标在双对数

14、图lnr-lnL(r)上，可得到一条斜率ii为 b 的直线，则其分维数为： D=1-b。00030eeoooo图12.2.2圆覆盖法测量断层长度示意图2 r= 1.35cm2r = 0.70cmL * =6.75cmL * =8.40cm3、网络覆盖法网络覆盖法一般用于研究一个区域内某种几何对象(点、线)的分形结构。将研究区分成若干个边长为r的正方形格子，数出有点或线进入的格子数N(r)；按1/2 的倍率缩小r,并数出相对应的格子数N(r)，并以此类推。如果研究区内几何对象具自相似 结构，则有：式中， Ds 为相似维。这种方法又称为数盒子法。将“数盒子”所得数据标绘在双对数坐标图LnN(r)-

15、lnr上, 可拟合一条直线：LnN(r)=a+Lnr其斜率 b 即为研究对象的分维。20km- 0010 礬* Y映海諏最小盒子的边长是2,34km2481632网格一边的童子数(b)图 a 为日本板田地区的断层系(图中所示断层是对“日本活断层图”中 I 到 II 级信度 活动断层绘制而成)。将该区域每边近2n(n=l,2,n)逐级等分，则可依次数出有断层线进 入的盒子数。为清晰起见，仅在图中的一角画出了逐渐变细的分割。图b为有断层线进入的 盒子数与沿网络一边盒子数的双对数坐标图，其分维为1.60+0.10。4、康托尘集法康托尘集法是分析某种事件沿测量方向出现非均匀性或概率的情况，可描述该事件分布 的不均匀性和各向异性特征。以断裂分维测定为例，用几条平行的测线覆盖断裂图象，然后将测线分为长度为r的一 些测量单元，数出含有断裂交叉点的测量单元的个数n与测量单元总数N的比值p。改变测 量单元的长度r，可获得相应的n、N及p值。在Lnp-lnr坐标系中，可得到p与r (i=l,2,，iin)的最佳回归直线，其斜率即为该测线方向上的分维值。改变测线方向重复上述操作，即 可得到不同