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1、31已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移卩为: nj卩=a sin( t + naq +6 )nj jjj j6为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为k T。具体计算每 jB个原子的平方平均位移。解：(1)根据 Jt sin2 t + naq +6 )dt =T 0 j j j 2其中T =竺为振动周期，j所以 卩2 = a2sin2( t + naq +6 ) = a2nj jjj j 2 j(2) 第j个格波的平均动能(3) 经典的简谐运动有:每个格波的平均动能寸均势能=j格波平均能量=+曽振幅a 2 =上=,jNmo 2j所以1 k T p 2 = a
2、 2 = b nj 2 j Nmo 2 j而每个原子的平方平均位移为： 正=辽H =工忆=工1 a2 =工-伫。nnjnj 2 jNmo 2jjjjj3.2讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a ),其2N个格波的解。当m = M时与一维单原子链一一对应。解：(1)一维双原子链：兀2a兀 q -2a声学波：m + M11 _ mM当m = M时，有o24mM1 -sin2 aq(m + M )2=坐(1-cos aq) = 4P sin2 丝mm 2光学波：2 = B+ mM.4mM.1 + 1 Sin2 aq(m + M )2当m二M时，有2 =空(1+ cos aq)=坐 cos2
3、叟。+ mm 24卩.aq(2) 维双原子链在m二M时的解兀兀 q -2a2a2 =sm2 -m24 Baq2 =COS2 -+m2与一维单原子链的解2 =乎沁晋兀兀W q aa是一一对应的。35已知 NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为： 其中马德隆常数a = 1.75,n = 9 ,平衡离子间距r = 2.82 ?。0(1) 试求离子在平衡位置附近的振动频率。红外吸收频率的测量只值2) 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与 NaCl61卩进行比较。解：(1)处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用 能展开至偏差6 = r r的二次方项。0U(r +6)=U(r)+
4、0QU (r +6)o6 +26=01 d 2U (r +6)6 2 + 0(6 4)6=01)其中dU (r +6)二0为平衡条件。6=o由r已知可确定B :0a q 2B =rn1 on0根据1)式，离子偏离平衡位置6 所受的恢复力为：QU (r +6) Q 2U (r +6)-= Q6T- 6 =-p 63)故恢复力常数为卩=竺4dr 2ron 一 1 a q 2 o r30对于离子晶体的长光学波，(0)=2卩=2(m + M)(n l)aq2+mMmMr 3m+M丫0将 Na 的原子质量 m = 23x 1.66x 10-24 g,Cl 的原子质量 M = 35.5x 1.66x 10
5、-24g ,基本电荷电量q = 4.803x 10-10esu代入上式，得(2)相对应的电磁波波长为2 x 3.14 x 2.998 xl081.11x1014=17 x 10-6 m = 17 卩 m6)对应与远红外波，与NaCl红外吸收频率测量值在同一数量级。注：如采用国际单位制进行计算，因在(2)式前乘一因子k = - = 8.99 x109 牛顿米 2/库仑 4兀*036求出一维单原子链的频率分布函数p()o解：一维单原子链的色散关系为：4 卩. aq . aq2 =sm2= 2 sm2 -m2 m 2其中=mrn =rnm.aqsin -2振动模式的数目：dn =2xNa2兀=2 x
6、 Na xaq cos 2Nd2 N/rn rn所以g ()=兀J 2 - 2* m37设三维晶格的光学振动在q = 0附近的长波极限有:求证：频率分布函数为03 30证明：由 3（q）0得 |v 3 (q) = 2Aq。V1故频率分布函数为g(3) = 4兀 2 A3/203303. 8有N个相同原子组成面积为S的二维晶格，在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温极限比热正比于T 2。解：（1）q空间的状态密度为。（2兀）2r每个q对应一个纵波，3二cq ,r每个q对应一个横波，3二c q。丄所以d3范围的状态数应包括纵波和横波的状态数:其中11 11二一 (+ ) c 22 c 2c 2cP
7、丄由于晶格振动模数有限，则晶格振动最高频率由决定。由此得3d = c（竽）2。/ h3、如f(-TT)2 ekBTr比热 c = - J 3dbg (3)d3 = - JV B 0h3-(e-BT -1)23B0/ h3、如()2 ekBTkTS,B3 d3皿2兀c2(ekBT -1)22兀 c令 x = ，h3= - 0 ,k TD B DB0 德拜温度。Dc = 4Nk G )2 J Dtdx ov B 00 (e x - 1)2D（2）在低温极限Tt0，8 x3ex0 (ex I)2dX = 24 NkB (缶)2 - T TDTc = 4Nk ()21vB 0D与三维情况下的德拜T 3
8、律相对应。310设晶体中每个振子的零点震动能丄h，试用德拜模型求晶体的零点振动能。 2解：根据德拜理论，cq，可得晶格频率分布函数为3Vg ( ) = 2 o2兀 2 c 3存在，在mrn范围的振动都可用弹性波近似，则根据自由度确定如下:mmm人( )d =壬卜 2 d = 3N0因此固体总的零点振动能为 19E = I m-h g ()d = Nh o0 0 28m3. 11 一 维复式格子 m = 5 x 1.67 x 10-24 g , M = 4 , 0= 1.5 x 10 N / m (即 1.5 x 104 dyn / cm), m求：(1)光学波 O , O ,声学波 A omax min max(2) 相应声子能量是多少电子伏特。(3) 在300 K时的平均声子数。(4) 与o相对应的电磁波在什么波段。max解：(1)(2) e = h (3) 在T = 300K相应的能量:因此在室温只能激发声学声子，平均声子数为(4)九二至3 Omax2 x 3.14 x 2.988 x10s6.70 x10i3二 2.8 x10-5 m 二 28pm。此波长处在红外波段。
