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1、word1PCA 与人脸识别与其理论根底问题描述1对于一幅图像可以看作一个由像素值组成的矩阵，也可以扩展开，看成一个矢量，如一幅N*N象素的图像可以视为长度为N2 的矢量，这样就认为这幅图像是位于N2维空间中的一个点，这种图像的矢量表示就是原始的图像空间，但是这个空间仅是可以表示或者检测图像的许多个空间中的一个。不管子空间的具体形式如何，这种方法用于图像识别的根本思想都是一样的，首先选择一个适宜的子空间，图像将被投影到这个子空间上，然后利用对图像的这种投影间的某种度量来确定图像间的相似度，最常见的就是各种距离度量。K-L变换1PCA方法是由Turk和Pentlad提出来的，它的根底就是Karh
2、unen-Loeve变换(简称KL变换)，是一种常用的正交变换。下面我们首先对K-L 变换作一个简单介绍:假设X 为n 维的随机变量，X 可以用n个基向量的加权和来表示:nX=iii=1 / 式中:i是加权系数，i是基向量，此式还可以用矩阵的形式表示:1 2 n 1 2 nX=(,)(,)T=取基向量为正交向量，即T1i=jT如此系数向量为：j = 0i j j =I=TX综上所述，K-L 展开式的系数可用如下步骤求出:步骤一求随即向量X的自相关矩阵R=EXTX，由于没有类别信息的样本集的 均值向量，常常没有意义，所以也可以把数据的协方差矩阵K_L 坐标系的产生矩阵，这里是总体均值向量。=E(
3、x)(x)T作为步骤二求出自相关矩阵或协方差矩阵R 的本征值i 和本征向量i，=(1,i,n)步骤三展开式系数即为=TXK_L 变换的实质是建立了一个新的坐标系，将一个物体主轴沿特征矢量对齐的旋转变换，这个变换解除了原有数据向量的各个分量之间相关性，从而有可能去掉那些带有较少信息的坐标系以达到降低特征空间维数的目的。利用PCA进展人脸识别完整的PCA人脸识别的应用包括几个步骤：人脸图像预处理；读入人脸库，训练形成特征子空间；把训练图像和测试图像投影到上一步骤中得到的子空间上；选择一定的距离函数进展识别。下面详细描述整个过程源码见faceRec.m。1.读入人脸库归一化人脸库后，将库中的每人选择
4、一定数量的图像构成训练集，其余构成测试集。设归一化后的图像是n*m,按列相连就构成N=n*m维矢量，可视为N维空间中的一个点，可以通过K-L 变换用一个低维子空间描述这个图像。2.计算K- L 变换的生成矩阵所有训练样本的协方差矩阵为以下三个等价：1.T TCA =(Mk=1xkixk )/MmximxA2. C=(AiAT)/M1M3. CA=i=1(xm)(xm)T i x i xA=1,2,.,M,i=ximx,mx是平均人脸, M 训练人脸数，协方差矩阵CA 是一个N*N的矩阵, N 是xi的维数。A为了方便计算特征值和特征向量，一般选用第2个公式。根据K - L变换原理，我们所求的新
5、坐标系即由矩阵AiAT 的非零特征值所对应的特征向量组成。直接求N*N大小矩阵C 的特征值和正交归一特征向量是很困难的, 根据奇异值分解原理见段落1.2.5和1.2.6，可以通过求解ATiA的特征值和特征向量来获得ATiA的特征值和特征向量，。N *r 在计算得到CA的所有非零特征值0,1,r1从大到小排序，1rn维矩阵，如此存在两个正交矩阵和一个对角阵：TA=a1,a2,ar=UVT其中U=u0 ,u1,ur1，V=v0,v1,vr1，=diag(0,1,r1)，且UU=I，VVT=I，2Tm*mTn*nTTi 呈降序排列。其中i为AA和A A的非零特征值，ui 和vi分别是AA 和A Ai
6、对应于2的特征向量。可得一个推论：U=AV1可以计算ATA的特征值2与相应的正交归一特征向量v后，可由推论知AAT 的正交归一特ii征向量iu = 1iiAvi注意，协方差矩阵CA=(AiAT)/M的特征值为：2 /M。利用小矩阵计算大矩阵特征向量高阶矩阵的特征向量可以转化为求低阶矩阵的特征向量：设：A是秩为r 的m*nmn维矩阵，CX=AAT m*m，是一个矩阵，现在要求C 的X特征值与特征向量，可通过先求小矩阵ATAn*n 的特征向量v,v,v和特征值0 1r10,1,r1，两者之间有以下关系：i i iATAv =vi i i左乘A AAT (Av)=(Av)显然，C=AAT 的特征向量是Av注意没有单位化，,亦为其特征值。Xi0 1r1结论：与1的方法计算协方差矩阵的特征向量，特征值的结果是一致的，只是要注意中的特征值要除以M，中的特征向量要单位化。图片归一化图片标准化通常是一个整体概念，要求把图片归一到均值为0，方差为1下情
