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1、浙江版初中数学总复习专题总汇专题十三:中点问题典型例题例1. 如图所示ABC中，B，C的平分线BE，CF相交于O，AGBE于G，AHCF于H(1)求证：GHBC；(2)若AB=9cm，AC=14cm，BC=18cm，求GH的长 变式1：若改成B的内角平分线与C的外角平分线，结论(1)还成立吗？说明理由. 变式2：若都改成B,C的外角平分线，结论如何？请证明.思路分析:本题主要考查三角形中位线的性质,首先可由结论GHBC逆向思维，必须添加辅助线构造全等三角形，得出中点，再由三角形中位线的性质推出结论即可.两道变式练习可如法炮制得出相同的结论.答案:（1）分别延长AH、AG交BC于点D、P.(如图
2、所示)可分别证明、，从而得到H、G分别是AD、AP的中点，GH是的中位线,GHBC.(2) 、， , ， 是的中位线, cm.变式1和变式2结论均为GHBC，证明方法同上.例2. 在ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图1所示仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示（1）在ABC中，增加条件：_，沿着_一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2（2）的位置上（2）在ABC中，增加条件：_，沿着_一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示2（3）的位置上（3）在ABC
3、中，增加条件：_，沿着_一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图2（4）的位置上（图1）思路分析：本题的剪拼、丰富的构思与发散思维来源于对生活、对已知数学元素（中位线和中线）的观察与领悟，较强的创造欲望可激发学生得到多样性的答案. 本题一方面学生可充分利用背景图和相关的题目要求进行剪拼操作，另一方面学生可将所学、所想、所看、所剪切的图案重新拼合清晰地展示出来，拼成题目要得到的图案.答案：（1）方法一：B=90，中位线EF，如图2（1）；（图2） 方法二：AB=AC，中线（或高）AD，如图2（2） （2）AB=2BC（或C=90，A=30），中位线EF，如图2（3） （3）B=90且AB=2
4、BC，中位线EF，如图2（4）例3. 如图，ABC内接于半圆，AB是直径，D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DEAB于E，交AC于F （1）求证：FDFG（2）若DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求BCG的面积 思路分析: 本题主要考查弧的中点的性质、等腰三角形三线合一性、相似三角形性质等知识的综合应用，解题时针对不同图形中的中点，应合理选择不同的定理来解决相关的问题，以达到灵活解题的目的.答案:（1）AB是O的直径，ACB90，CGB+CBG90.又DEAB， DBE+FDG90，又D是弧AC的中点，DBECBG FDGCGB,又DGFC GB, FDGDGF, FD
5、FG （2）由DFG的面积为4.5，DG=3可求得高FH=，又FDFG,DEAB，,容易证明FHGBCG，得到,即,（也可尝试其它解法，暂略）例4. 如图，梯形ABCD中，ADBC, ACBD于O,试判断AB+CD与AD+BC的大小关系，并证明. 思路分析: 本题主要考查“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”及“梯形中位线性质”的灵活应用。突破口就在条件“梯形ABCD中，ADBC, ACBD”前一条件“梯形ABCD中，ADBC”可构造梯形中位线与“AD+BC”联系起来；后一条件“ACBD”可构造两条斜边上的中线与“AB+CD”联系起来，再利用同一三角形中，三边关系就可得出结论.答案:取AB、
6、CD的中点F、G，连结OF、OG、FG(如右上图).ACBD，点F是AB的中点， 同理可得：点F、G分别是AB、CD的中点，FG是梯形ABCD的中位线，又在中，即变式拓展：如图，在菱形ABCD中，A=100，M,N分别是AB,BC的中点，MPCD于点P，求NPC的度数.图(1)图(2)思路分析：本题从条件出发，可寻求两种解题方法：其一构造梯形中位线，利用垂直平分线的性质及等角的余角相等等定理来求解；其二构造直角三角形和全等三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”等定理来求解.答案：方法一：取MP的中点E连结NE（如图（1）所示）.由N是BC的中点可知NE是梯形的中位线，NE/CD，
7、又MPCD，NE MP，即NE 垂直平分MP，NM=NP，NMP=NPM，又由已知可知BM=BN，BMN=BNM=，又NMP+BMN =，NPM+NPC=，NPC =BMN =.方法二：延长PN、MB交于点F（如图（2）所示）.容易证明NBFNCP，从而得到NPC=F，NF=NP，又FMP=，NF=NM，NMF=F，又BM=BN，NMF=BNM=，NPC =F=.精选习题一.填空:1. (只填序号)顺次连结平行四边形各边中点得到的四边形是_；顺次连结菱形各边中点得到的四边形是_；顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是_；如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结其各边中点得到的四边形是
8、_。 （平行四边形 菱形 矩形 正方形）2. 如图，ABC是O的内接三角形，点D是的中点，已知AOB=98，COB=120则ABD的度数是3. 如图，ABCD的对角线、相交于点，点是的中点，的周长为16 cm，则的周长是 cm ABCDO(第2题) (第3题)ACDBEO （第4题） 4. 已知ABC中，AB10，AC6，AD是角平分线，CNAD于N，且M是BC的中点.则MN的长为_.5. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是 6. 如图，已知AGBD, AFCE，BD、CE分别是ABC和ACB的角平分线，若BF=2, ED=3，GC=4,则ABC的周长
9、为 .7. 如图，在ABCD中，BC=2AB，CEAB于E，F为AD的中点,AEF=54，则B= . (第5题) （第6题） （第7题）8. 如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点F，M、N分别为AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于P、Q，且FPQ=FQP，若BD=10，则AC= .9. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C若OBC的面积为3，则k_（第8题） （第9题） （第10题）10. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N 给出下列结论：ABMCDN；AM=AC；DN=2NF；SA
10、MB=SABC其中正确的结论是 （只填序号）二.选择:11. 如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减小 C线段EF的长不变 D线段EF的长与点P的位置有关（第11题） ABCDEFP（第12题） EBAFCD（第13题）12. 如图，梯形ABCD中，ABC和DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为（ ） A9B10.5 C12D1513. 如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长
11、，交AB的延长线于F点，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A BC D14. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）A等腰梯形B对角线相等的四边形 C平行四边形D对角线互相垂直的四边形15. 若梯形的面积为，高为2cm，则此梯形的中位线长是（ ） A2cmB4cm C6cmD8cm16. 如图，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则AEF的周长为( )ABCD317. 如图，在ABCD中，ABC=75，AFBC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则AED的度数为( ) A.6
12、0 B.65 C.70 D.75（第16题）ABCDEF （第17题） （第18题）18. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD与BC不平行，M、N分别是AD、BC的中点.则AB与MN的大小关系是（ ） A. ABMN B. AB=MN C. ABMN D. 19. 如图，矩形A1B1C1D1的面积为4。顺次连结各边的中点得到四边形A2B2C2D2 ；再顺次连结四边形A2B2C2D2各边的中点得到四边形A3B3C3D3；依此类推，则四边形A8B8C8D8的面积是（ ） A B C D （第19题） （第20题）20. 已知如图，在o ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB，交CB的延长线于G，连接GF，若ADBD.下列结论： DEBF； 四边形BEDF是菱形； FGAB；SABCD. 其中正确的是（ ）A. B. C. D. 三.解答:21. 如图，已知四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，且EF/AB，与对角线交于M、N两点，若EF=20cm，MN=8cm，求AB的长.
