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1、数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；一、集合(3)对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1； （一）集合有关概念 (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是使各部分都有意义1. 集合的含义的 x 的值组成的集合； 2. 集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(6) 指数为零底不可以等于零； 3. 集合的表示： （1）常用数集及其记法 （2）列举法 （3）描述法 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意
2、义.4、集合的分类：有限集、无限集、空集 相同函数的判断方法 ： (以下两点必须同时具备)5. 常见集合的符号表示：(1) 表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；(2) 定义域一致 . 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集实数集符号 N N 或 N Z Q R求函数值域方法 : （先考虑其定义域）（1）函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .（二）集合间的基本关系n n-11. 子集、真子集、空集； 2. 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集, 2个真子集；(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域,它是求解复杂函
3、数值域的基础.3. 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 .（三）集合的运算运算类型 交 集 并 集补集由所有属于 A且属于B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交定 义 集记作 A B（读作 集记作： A B（读作设U是一个集合, A 是 U的一个子集,由 U中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 U中子集 A 的补集（或余集）A交 B）,即 A B=x|x A,且 x BA 并 B）, 即 A B=x|x A,或 x B) 记作C A,即UCUA= x|xUx ,且 A (3)求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等 .2. 函数图象知
4、识归纳 (1) 定义： 在平面直角坐标系中, 以函数 y=f(x) , (x A)中的 x为横坐标, 函数值y为纵坐标的点 P(x ,y) 的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x A) 的图象 C上每一点的坐标(x ,y) 均满足函数关系 y=f(x) ,反过来,以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对x、y为坐标的点 (x ,y) ,均在 C上 .函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据 .(2) 画法 : 描点法 ;图象变换法 常用变换方法有三种 : 平移变换;对称变换； *伸缩变换.3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、
5、半开半闭区间； （ 2）无穷区间； （ 3）区间的数轴表示韦恩图示性质A B图1A A=AA =A B=B AA B AA B BA B图2A A=AA =AA B=B AA B A B BUA(CuA) (C uB)= Cu (A B)(CuA) (C uB)= C u(A B)A (C uA)=UA (C uA)= 4映射一般地,设A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f ：A B为从集合 A 到集合 B 的一个映射 .记作“ f （对应关系） ：A（原象集） B（象集）”
6、对于映射 f ：AB来说,则应满足：(1) 集合 A中的每一个元素,在集合 B中都有象,并且象是唯一的；(2) 集合 A中不同的元素,在集合 B中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象 .5. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2) 各部分的自变量的取值情况； 二、函数(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集（一）函数的有关概念1. 函数的概念：设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应,那么就称 f
7、：A B为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x) , xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y f(x)| x A 值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域（二）函数的性质1. 函数的单调性 ( 局部性质)（1）定义定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域 .2. 常用的函数表示法及各自的优点：1 解析法：必须注明函数的定义域；2图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；3 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征设函数 y=f(x) 的定义域为I ,如果对于定
8、义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x2时,都有 f(x 1)f(x 2 ) ,那么就说f(x) 在区间D上是增函数 . 区间D称为y=f(x) 的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1x2时,都有 f(x 1) f(x 2) ,那么就说f(x) 在这个区间上是减函数 . 区间D称为y=f(x) 的单调减区间.优点：解析法：便于算出函数值. 列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值.f (x ) f (x )2 1定义的变形应用 ： 如 果对任 意 的x1,x2 D , 且 x1 x2 有 0或 者x x2 1( fx() f
9、x(x)x ) ( )0 ,则函数 f (x) 在区间D 上是增函数；如果对任意的 x1,x2 D ,且 x1 x2 有2 1 2 1（2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：函数 y=f(x) 在区间a ,b 上单调递增, 在区间b ,c 上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b处有最大值f(b) ；函数 y=f(x) 在区间a ,b 上单调递减, 在区间b ,c 上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b处有最小值f(b).f (x ) f (x )2 1x x2 10或者( f ()x f ( xx)x)( )0 ,则函数 f (x) 在区间D
10、上是减函数 .2 1 2 1第二章 基本初等函数注意：函数的单调性是函数的局部性质.一、指数函数（2）图象的特点（一）指数与指数幂的运算如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 .(3) 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1,x2D,且 x11,且 n Na (a 0) a (a 0)n n a|a |n .负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0,记作 0 0n n当 n是奇数时, a a,当 n是偶数时,*2 作差 f
11、(x 1) f(x 2) ； 2分数指数幂3变形（通常是因式分解和配方） ；正数的分数指数幂的意义,规定：4 定号（即判断差 f(x1) f(x 2) 的正负）；5 下结论（指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性） (B)图象法 (从图象上看升降 )amnn ma(a0,m,nN ,* n* n1)m1 1 *, n ( 0, , , 1)a a m n N nmn mana 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(C) 复合函数的单调性3实数指数幂的运算性质复合函数 f g(x) 的单调性与组成它的函数 u=g(x) ,y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律：“同增异
12、减”r s r s r s r s r r r（ 1）a a a (a 0,r ,s R) ；（2）(a ) a (a 0, r ,s R) ；（3）( ab) ab (a 0,r R) 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .2函数的奇偶性（整体性质）（二）指数函数及其性质（1）偶函数1指数函数的概念：一般地,对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x,都有 f( x)=f(x) ,那么 f(x) 就叫做偶函数（2）奇函数一般地,对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x,都有 f( x)= f(x) ,那么 f(x) 就叫做奇函数（3）
13、具有奇偶性的函数的图象的特征x 且 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为R一般地,函数 y a (a 0, a 1)注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 12指数函数的图象和性质偶函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：a1 0a1661 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称；5 52 确定 f( x) 与 f(x) 的关系；43433 作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0 ,则f(x) 是偶函数；若 f( x) = f(x)2 2或 f( x) f(x) = 0 ,则f(x)
14、 是奇函数1 11 1-4 -2 2 4 60-4 -2 2 4 60注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点-1 -1定义域 R 定义域 R对称,若不对称则函数是非奇非偶函数 . 若对称, (1) 再根据定义判定 ; (2) 由 f(-x) f(x)=0值域 y 0值域 y0 或 f(x) f(-x)= 1 来判定 ; (3) 利用定理,或借助函数的图象判定 .3. 函数的解析表达式 在 R上单调递增 在 R上单调递减（1）函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的非奇非偶函数 非奇非偶函数对应法则,二是要求出函数的定义域 . 函数图象都过定点（ 0,1） 函数图象都过定点（ 0,1）（2）求函数的解析式的主要
