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1、报童卖报 摘要 报童卖报问题实际上是求解使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最 小期望值的临界值，本文对报童卖报获得最大盈利的条件进行了研究，建立日期 望收入以及日均损失模型，当日需求量 r 为离散型和连续型时分别进行了计算， 得出无论以收入或者损失作为模型，报童的最佳销售策略都是相同的，即保证每 天批发的报纸卖不完的概率与卖完的概率之比正好等于他卖出一份赚的钱与退 回一份赔的钱之比。另外本文还沿用此模型对当上下午报纸售价不同的两种情况 进行了分析，得到了结论。一、问题提出 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每 份的购进价为b,零售价为a,退回价为c,假设abc
2、。即报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够 卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量,以获得最大收入。二、模型分析 购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他 渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为 r 份 的概率是f(r)(r=0,l,2)有了 f(r),a和b,c就可以建立关于购进量的优化模型。三、模型建立假设每天购进量是n份，需求量是随机的，r可以小于，等于或大于n,，所 以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的 收入，而取长期卖报(月，年)的日
3、平均收入。从概率论大数定律的观点看，这 相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。记报童每天购进n份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量rn,则r份将全部售出。需求量为r的概率是 f(r),则G (n )=工(3 b )r (b - c )C r)f (r )+ 艺(a b(r )r=0r=n+1问题归结为在f(r)a，bc已知时，求n是G(n)最大。四、模型求解购进量n都相当大，将r视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r) 转化为概率密度函数 p(r)G (n )= Jn Ka b )r (b c ) C r )!p(r )dr + fM(a b ip( )dr 0n计算dG-C
4、b)- c)p(r)dr _(a b)np(n)+(a b)p(r)dr0n得 dn 二 2 c)np(n) (b cn p(r)dr +(a b爪 p(rrdG = o令 dn得到J np (r )drnabbcn 应满足上式。J np (r:dr = a-b0J p(r = 10使报童日平均收入达到最大的购进量为ac根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n在图中用p1,p2分别表P a b=OnrdnP = | n pr Jdr因为当购进 n 份报纸时， 1 0 是需求量 r 不超过 n 的概率；P | g p(r /7r2 n是需求量 r 超过 n 的概率，既卖完的概率，所以上
5、式表明，购进的份数n应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回 一份赔的钱b-c之比。五、结论 当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比约大时，报童购进的份数就 应该越多。六、练习利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为 1 元，退回 价为 0.6 元，需求量服从均值 500 份，均方差 50 份的正态分布，报童每天应购 进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？ 当 a=1, b=0.75, c=0.6 时 需求量 r 服从 r N(500,502) 分布。P a - b1 - 0.75 51 P2 b-c 0.75-0.6 3对应的正态分布表得到对应概率为0.9515500 x - 312.5所以购进量为 8(1 一 0.75 )x 312 .5 x 0.951 78.15当 rn 时最高收入为 应-0.75)x 312.5 - (0.75 - 0.6)x (500 - 312.5)x 0.9515 47.6
