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1、 泰勒公式 一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 由微分概念知：在点可导，则有 即在点附近，用一次多项式逼近函数时,其误差为(）的高阶无穷小量然而在诸多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并规定误差为，其中为多项式的次数.为此,我们考察任一次多项式 (1)逐次求它在点处的各阶导数，得到 ,，即 由此可见,多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一拟定 对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数由这些导数构造一种次多项式 （2）称为函数在点处的泰勒（Tlor）多项式，的各项系数1,2,)称为泰勒系数由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相似的函数值和相似的直
2、至阶导数值，即 （3）下面将要证明,即以()式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为有关的高阶无穷小量. 定理68 若函数在点存在直至阶导数,则有（4）证 设 (目前只要证 由关系式(3)可知, 并易知 由于存在，因此在点的某邻域U()内存在阶导函数于是，当且时，容许接连使用洛必达法则，1次，得到 定理所证的()式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺(Pano)型余项因此(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式注1 若在点附近满足， (5）其中为（）式所示的阶多项式,这时并不意味着必然就是的泰勒多项式例如 其中D为狄利克雷函数.不难懂得，在处除了外不再存在其她任何阶导数
3、（为什么?).因此无法构造出一种高于一次的泰勒多项式，但因 即，因此若取 时，(5）式对任何恒成立. 注2 满足(5）式规定（即带有佩亚诺型误差)的n次逼近多项式是唯一的 综合定理.和上述注,若函数满足定理6.的条件时,满足(5)式规定的逼近多项式只也许是的泰勒多项式. 后来用得较多的是泰勒公式(4)在时的特殊形式： 它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(claurin)公式例 验证下列函数的麦克劳林公式: (2） () ； () .证 这里只验证其中两个公式，其他请读者自行证明(2)设，由于，因此 代人公式(6),便得到的麦克劳林公式由于这里有，因此公式中的余项可以写作，也可以写作).有关公
4、式3)中的余项可作同样阐明.设因此代人公式(6),便得的麦克劳林公式 运用上述麦克劳林公式，可间接求得其她某些函数的麦克劳林公式或泰勒公式,还可用来求某种类型的极限例2 写出的麦克劳林公式,并求与.解 用替代公式1）中的,便得根据定理6.注2，懂得上式即为所求的麦克劳林公式 由泰勒公式系数的定义,在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为由此得到例3 求在处的泰勒公式解 由于因此根据与例1的相似的理由，上式即为所求的泰勒公式例 求极限. 解 本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解考虑到极限式的分母为,我们用麦克劳林公式表达极限的分子(取，并运用例2)：因而求得二 带有拉格朗日型
5、余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们:当时,逼近误差是较高阶的无穷小量。目前我们将泰勒公式构造一种定量形式的余项,以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。定理6. （泰勒定理）若函数在上存在直至阶的持续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的,至少存在一点，使得 (7）证 作辅助函数所要证明的()式即为或.不妨设,则与在上持续,在内可导,且又因,因此由柯西中值定理证得其中.(7)式同样称为泰勒公式，它的余项为称为拉格朗日型余项因此(7)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。 时，即为拉格朗日中值公式 因此,泰勒定理可
6、以看作拉格朗日中值定理的推广. 当时，得到泰勒公式 （8)()式也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.例5 把例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式解 (1),由,得到 (2) 由得到 (3)类似于,可得 （)得到 。(5） ，由,得到 (6)由得到 三 在近似计算上的应用这里只讨论泰勒公式在近似计算上的应用.在4，5两节里还要借助泰勒公式这一工具去研究函数的极值与凸性. 例6 （1)计算e的值,使其误差不超过； (2)证明数为无理数 解() 由例5公式（1),当时有 （9)故，当时,便有 从而略去而求得e的近似值为 () 由（9)式得 （1)倘若(为正整数)，则当时,n!e为正整数,从而（1）式左边为 口整数.由于,因此时右边为非整数,矛盾.从而e只能是无理数 例7 用泰勒多项式逼近正弦函数 （例5中的(2)式)，规定误差不超过.试以和两种情形分别讨论：的取值范畴 (i)时，使其误差满足 只须(弧度）,即大概在原点左右范畴内以近似sinx,其误差不超过(ii）时,，使其误差满足:只需, (弧度)，即大概在原点左右范畴内,上述三次多项式逼近的误差不超过.如果进一步用更高次的多项式来逼近，能在更大范畴内满足同一误差
