《新人教A版高中数学必修五学案:2.2.1等差数列(一)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新人教A版高中数学必修五学案:2.2.1等差数列(一)(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2019届数学人教版精品资料2.2.1等差数列(一)上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一类特殊的数列。一、【学习目标】1、理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;2、能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题,概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法;二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材第3638页内容,然后回答问题由学生观察分析并得出答案:1、在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列:0,5,_
2、,_,_,_,2、2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63。3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5,8,5.54、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金(1+利率寸
3、期).例如,按活期存入10 000元钱,年利率是0.72%。那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是:时间年初本金(元)年末本利和(元)第1年10 00010 072第2年10 00010 144第3年10 00010 216第4年10 00010 288第5年10 00010 360各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20, 48,53,58,63 18,15.5,13,10.5,8,5.5 10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360
4、 看这些数列有什么共同特点呢?引导学生观察相邻两项间的关系, 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 等差数列的概念等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是5,5,-2.5,72。注意:公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;对于数列 ,若 =d (d是与n无关的数或字母),n2,nN ,则此数列是等差数列,d 为公差;(3)若d=0,
5、 则该数列为常数列提问:(1)你能举一些生活中的等差数列的例子吗?(2)如果在与中间插入一个数A,使,A,成等差数列数列,那么A应满足什么条件?由学生回答:因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:A-a=b-A 所以就有 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项。不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列:1,3,5,7,9,11,13中 ,5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。看来,从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q
6、 则 等差数列的通项公式提问:对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢? 、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式: 猜想得到这个数列的通项公式是 猜想得到这个数列的通项公式是 猜想得到这个数列的通项公式是 猜想得到这个数列的通项公式是、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差d,它的通项公式是什么呢? 引导学生根据等差数列的定义进行归纳: (n-1)个等式 所以 思考:那么通项公式到底如何表达呢? 得出通项公式:以为首项,d为公差的等差数列的通项公式为: 也
7、就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差d,那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式:(迭加法): 是等差数列, (迭代法):是等差数列,则有 所以 两边分别相加得 所以 所以 例题分析例1、求等差数列8,5,2,的第20项.-401是不是等差数列-5,-9,-13,的项?如果是,是第几项?解:由=8,d=5-8=-3,n=20,得 由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。例2
8、:(1)在等差数列中,已知,求首项与公差d;(2)已知数列为等差数列,求的值.解:(1)解法一:,则 所以,这个等差数列的首项是2,公差是3 解法二:, 由 得所以,这个等差数列的首项是2,公差是3例3:梯子最高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度解:设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列,由已知条件,可知:=33, =110,n=12,即10=33+11 解得: 因此,答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.例4:三个数成等差数列,它
9、们的和为18,它们的平方和为116,求这三个数.解:设这三个数为a-d,a,a+d则 解得这三个数依次为4,6,8或8,6,4注(1)设未知数时尽量减少未知数的个数.(2)结果应给出由大到小和由小到大两种情况.例5:已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.解:设这个数为a-3d, a-d, a+d,a+3d则 解得: 或这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.例6某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费. 令=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费 答:需要支付车费23.2元。三、【综合练习与思考探索】练习一:教材p39第1-4题 练习二:总结教材知识点. 四、【作业】1、必做题:2.2A组15;2、选做题:总结本节课的知识点,形成文字到笔记本上.五、【小结】等差数列定义:即(n2)等差数列通项公式:(n1)推导出公式:六、【教学反思】