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1、用 Matlab 实现排队过程的仿真李鹏王珊珊摘 要： 排队问题仿真的目的是要寻找服务对象与服务设置之间的最佳配置， 保证系统具有最佳的服务效率与最合理的配置。通过 Matlab 平台对单服务台有限队长的排队系统进行过程仿真， 可以协助设计人员分析顾客的需求， 从而合理规划出符合实际条件的服务设施。关键词： 排队；Matlab； 仿真实现1引言排队是日常生活中经常遇到的现象 ， 例如： 出行坐火车， 等待检票进站的排队； 到食堂打饭所形成的排队； 学校打预防 针、 体检所形成的排队； 看电影、 旅游时， 前往售票处购票形 成的排队等； 另一种排队是物的排队， 例如： 使用 FTP 或 P2P
2、下载传递文件； 流水线上生产的产品等待接受检验； 维修室的 故障仪器等待维修等。 排队现象的要素包括两个方面的内容 ： 一是需要接受服务的顾客； 二是提供服务的服务台。 最近几十 年来， 排队理论在计算机网络、 通信、 交通以及其它公共事业 领域的应用越来越广泛， 已成为分析和设计这些系统的一个不 可或缺的工具。Matlab 是 美 国 Math Works 公司研制开发的一套用于 数 值 计算的交互式软件系统， 具有强大的数值分析、 矩阵运算、 信 息处理、 图形显示等功能， 其强大的数据处理能力和丰富的工采用面向对象 的 仿 真 方 法 ， 选取事件发生时刻为仿真时 钟。 由于 Matla
3、b 中的计算均为矩阵 计 算 ， 故利用矩阵形式建 立 事 件 参 数 表 events， 矩 阵 events 的行表示顾客的 不 同 参 数 ， 列表示不同的顾客。 针对 M/M/1/N/ 模型的特点， 建立顾客信 息如表 1 所示。表 1 顾客信息表其中， 标志位具箱使得它 的编程极为方便 。 正是基于此原因 ，Matlab 软件来对 M/M/1/N/ 排队模型进行仿真。2排队模型单服务台排队系统的结构模型如图 1 所示。才 选 择 了仿真算法原理建立顾客信息后 ， 面 向 对象的仿真模型算法分为以下两 3.2步。321 顾客信息初始化（1） 根据到达率 和 服 务 率 来确定每个顾客的
4、到达时 间间隔和服务时间间隔。 服务间隔时间可以用负指数分布函数 exprnd () 来生成。 由于泊松过程的时间间隔也服从负指数分 布， 故亦可由此函数生成顾客到达时间间隔。 需要注意的是， exprnd () 的输入参数不是到达率 和 服 务 率 ， 而 是 平 均 到 达时间间隔 1/ 和平均服务时间 1/。（2） 根据到达时间间隔， 确定每个顾客的到达时刻。 学习 过 C 语言的人习惯于使用 for 循 环 来 实 现 数 值 的 累 加 ， 但 for 循环会引起运算复杂度的增加 ， 而 在 Matlab 仿 真 环 境 中 ， 提图 1 单服务台排队系统的结构模型M/M/1/N/
5、排队模型表示顾客源为无限， 顾客的到达相互独立， 到达规律服从泊松分布 ，平均到达 率为 ；单 服 务 台 ，队长限制为 N （即系统中最多允许有 N 个顾客在排队， 再来的顾客将被拒绝进入系统）， 先到先服务， 各顾客的服务时间相 互独立， 且服从负指数分布， 平均服务率为 。3问题仿真建立顾客信息31供了一个方便的函数 cumsum () 来实现累加功能， 读者可以直接引用。（3） 对当前顾客进行初始化。 第 1 个到达系统的顾客不需 要等待就可以直接接受服务， 其离开时刻等于到达时刻与服务 时间之和。322 进队出队仿真在当前顾客到达时刻， 根据系统内已有的顾客数来确定是 否接纳该顾客。
6、 若接纳， 则根据前一顾客的离开时刻来确定当 前顾客的等待时间、 离开时间和标志位； 若拒绝， 则标志位置 为 0。仿真的具体流程如图 2 所示。%初始化顾客源%*%总仿真时间Total_time = 10;%队列最大长度N = 20;%到达率与服务率lambda = 10;mu = 6;%平均到达时间与平均服务时间arr_mean = 1/lambda;ser_mean = 1/mu;%可能到达的最大顾客数（round：四舍五入求整数）arr_num = round(Total_time*lambda*2);%顾客事件表初始化events = ;%按负指数分布产生各顾客达到时间间隔event
7、s(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num);%各顾客的到达时刻等于时间间隔的累积和events(1,:) = cumsum(events(1,:);%按负指数分布产生各顾客服务时间events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num);%计算仿真顾客个数，即到达时刻在仿真时间内的顾客数len_sim = sum(events(1,:)Total_time break;%如果第 i 个顾客的到达时间未超过仿真时间，则计算在%到达时刻系统中已有的顾客个数else number = sum(events(4,member) events(1,i)
8、;%如果系统已满，则系统拒绝第 i 个顾客，其标志位置 0 if number = N+1events(5,i) = 0;%如果系统为空，则第 i 个顾客直接接受服务else if number = 0%其等待时间为 0图 2仿真流程图4程序实现以单服务台的售票处为例， 假设各顾客的到达时间间隔和 服务时间均服从负指数分布， 到达率 = 10 人/分钟， 服务率 = 6 人/分钟， 等待队长 N = 20 人， 仿真时间 Total_time = 10 分钟。仿真程序代码编写如下：2009. 1516clearclc%*图 3顾客到达时间与离开时间曲线图图 4顾客停留时间与等待时间曲线图并给出
9、了仿真结果。 本方法适用于生活中的许多排队案例的分析， 进行必要改进即可实现多服务模型的分析， 可以为工程设 计人员进行排队规划提供参考。参考文献1 唐应辉， 唐小我. 排队论-基础与分析技术. 科技出版社，2006.2 韩中庚， 郭晓丽， 杜建平， 等. 实用运筹学-模型、 方法 与计算. 清华大学出版社， 2007.3 Recktenwald， 伍卫国， 万群， 等译. 数值方法和 MATLAB实现与应用. 机械工业出版社， 2004.4 高静涛， 史百战. 基于 MATLAB 的排队问题仿真. 武汉工 业学院学报， 2006.(收 稿 日 期 ： 2009-5-16)5仿真结果使用本程序
10、仿真出的各顾客到达时刻与离开时刻曲线， 等 待时间与停留时间曲线， 如图 3、 图 4 所示。6结语通 过 Matlab 平台实现了排 队 论 中 M/M/1/N/ 模 型 的 过 程 仿真， 以单服务台的售票处为例， 详细阐述程序 的工作原理 ，events(3,i) = 0;%其离开时刻等于到达时刻与服务时间之和events(4,i) = events(1,i)+events(2,i);%其标志位置 1 events(5,i) = 1;member = member,i;%如果系统有顾客正在接受服务，且系统等待队列未满，则%第 i 个顾客进入系统else len_mem = length(
11、member);%其等待时间等于队列中前一个顾客的离开时刻减去其到%达时刻events(3,i)=events(4,member(len_mem)-events(1,i);%其离开时刻等于队列中前一个顾客的离开时刻加上其服%务时间events(4,i)=events(4,member(len_mem)+events(2,i);%标识位表示其进入系统后，系统内共有的顾客数events(5,i) = number+1; member = member,i; endend endend%仿真结束时，进入系统的总顾客数len_mem = length(member);%*% 输出结果%*%绘制在仿真时
12、间内，进入系统的所有顾客的到达时刻和离%开时刻曲线图（stairs：绘制二维阶梯图） stairs(0 events(1,member),0:len_mem); hold on;stairs(0 events(4,member),0:len_mem,.-r);legend( 到达时间 , 离开时间 );hold off;grid on;%绘制在仿真时间内，进入系统的所有顾客的停留时间和等%待时间曲线图（plot：绘制二维线性图） figure; plot(1:len_mem,events(3,member),r-*,1:len_mem,events(2,member)+events(3,member),k-);legend( 等待时间 , 停留时间 );grid on;
