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1、第二章2-1试证明图 P2-1中周期性信号可以展开为（图略）4(-1)ncos(2n +1)pts(t) = p2n +1n=0证明：因为所以s(-t) = s(t)2pkt2pkts(t) = ck cos=ck cos=ck cospktT02k=0k=0k=01s(t)dt = 0 c0 = 0-1114p sin k2pk1-1s(t)coskptdt = -( ck =+ )coskptdt +1 coskptdt =221-1-1-220,k = 2n=4(2n+1)p(-1)nk = 2n+1所以4(-1)n2n+1s(t) = pcos(2n+1)ptn=02-2设一个信号s(
2、t)可以表示成s(t) = 2cos(2pt +q)- t 试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：功率信号。t 2st ( f ) = cos(2pt +q)e- j2pftdt-t 2= t q sinp ( f -1)t +- jqesinp ( f +1)t p ( f +1)tej2p ( f -1)tP( f ) = limt1 st2t t sin2p( f -1)t + sin p ( f +1)t + 2 sinp ( f -1)t sinp( f +1)t cos2q2= limt 4 p2( f 1) p 2( f +1) t ( f -1)(
3、f +1)t2- t22 2 p 2 2由公式sin2xt =d (x)sin xt =d (x)p xlim和limp tx2tt有P( f ) = p dp ( f -1)+ p dp ( f +1)44= 1d ( f +1)+d ( f -1)4或者P( f ) = 1d ( f - f0)+d ( f + f0)42-3设有一信号如下： 2exp(-t)t 0t 0x(t) = 0试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：dx = 4 e-2tdt =x(t)22-0是能量信号。 x(t)e j2pftdtS( f ) =-= 2 e-(1- j2p f )t
4、dt021- j2p f=224G( f ) = 1- j2p f=1+ 4pf2 22-4试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质：（1）d ( f )+ cos 2p f2（2）a +d ( f -a)（3）exp(a - f )解：功率谱密度 P( f )满足条件： P( f )df为有限值-（3）满足功率谱密度条件，（1）和（2）不满足。2-5试求出s(t) = Acoswt的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。解：该信号是功率信号，自相关函数为1 A2T 2R(t ) = limcoswt cosw(t +t )TT-T 2= A coswt22P = R(0) = 1 A222
5、-6设信号s(t)的傅里叶变换为S( f ) = sinp f p f，试求此信号的自相关函数 Rs(t )。解：Rs(t ) = P( f )e j2p ftdf- sin2p f e j2p f=tdfp2 2f-=1- t , -1t 12-7已知一信号s(t)的自相关函数为Rs(t ) = k e-kt，k为常数2（1）试求其功率谱密度 Ps( f )和功率 P；（2）试画出Rs(t )和 Ps( f )的曲线。解：（1）Ps( f ) = Rs(t )e- j2p ftdt-= kdt + k0e(k- j2p f )e-(k+ j2p f )ttdt22-0k2=k2+ 4p22f
6、2kP =f 2df-k2+ 4p2= k2（2）略2-8已知一信号s(t)的自相关函数是以 2为周期的周期函数：R(t ) =1- t， -1t 1试求功率谱密度 Ps( f )，并画出其曲线。解： R(t )的傅立叶变换为，（画图略）1T 2 R(t )e- j2p ftdtT-T 2= 1 (1- t )e- j2p fdt = sin2p f1t2-1p2f2= sinc p f2P( f ) = sinc p fd ( f -nf0)2-p fd ( f - n)=sincsinc2T-p fd ( f - n)22-2-9已知一信号s(t)的双边功率谱密度为P( f ) = 10-4 f 2,-10kHz f 10kHz0其他试求其平均功率。解：P =P( f )df-=10410-4f df2-1042= 1083
