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1、第 4 讲：正态分布 知 识 梳理 1(x _|_l )21.正态总体的概率密度函数：f (x) = .he 2a2 ,xeR,式中卩Q是参数，分别表示2兀o与；当卩=0时得到标准正态分布密度函数:f (x )=e T, x e(s, +s).2兀6答案: 总体的平均数(期望值); 标准差2. 正态曲线的性质： 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，关于直线x=卩对称; 曲线在x=卩处达到峰值;a%2r 曲线与X轴之间的面积为1；3. 卩,o是参数卩,o是参数的意义： ; 答案： 当a 一定时，曲线随卩质的变化沿x轴平移； 当卩一定时，曲线形状由a确定：a越大，曲线越“矮胖”
2、表示总体分布越集中; a越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。特别提醒：(1)P(卩一a x 卩 + a) =0.6826； P (卩一 2a x 卩 + 2a) =0.9544 p (卩一 3a x p + 3a) =0.99744.对于N(y,a2)，取值小于x的概率F (x )=0x H Ia JP(x x x )= P(x x )- P(x x ) = F (x )-F (x )1 0 2 2 1 2 1(x -(x -c2一1I a丿I a丿重难点突破1. 重点：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2. 难点：利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义解决
3、简单问题.3.重难点：.(1) 正态分布与正态曲线1_ (#)2问题1：若总体密度曲线就是或近似地是函数f(兀)=e 2o2 ,X G R的图象，则其2分布叫正态分布，常记作N(比G2) . f (X)的图象称为正态曲线.点拨：画出三条正态曲线：即卩=1Q = 0.5 :卩=0Q = 1 :卩=1Q = 2，其图象如下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质： 曲线在x轴的上方，与x轴不相交. 曲线关于直线x二卩对称，且在x二卩时位于最高点. 当x卩时，曲线上升；当x卩时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸 时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近 当卩一定时，曲线的形状由确定.越大，曲线越
4、“矮胖”表示总体的分布越分 散；b越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.注意：当卩二0,b = 1时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是1x2f (x) re 2, x G R 相应的曲线称为标准正态曲线热点考点题型探析考点一： 正态分布的应用题型 1. 正态分布公式的应用例1给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值M和标准差o1x2(1) f (x) = e 2 , x G (一8,+8) 2k1_( x-1)2(2) f (x) =e 8 , x e (一卩+)2 J 2兀(3) f (x)=x e (g,)1(x )2解题思路:考查正态总体的概率密度函数公式，f(x
5、) =e一 2。2 ,xeR,式中2兀o卩,o是参数，分别表示总体的平均数(期望值)与标准差解析：(1)0, 1； (2)1, 2； (3)T, 0.5 *例2某物体的温度T (F0)是一个随机变量，已知TN(98.6,2)，又随机变量S (C 0) 满足s = 9(t -32)，求S的概率密度。解题思路:Fo为华氏度，C为摄氏度。S为T的线性函数，由要点4知S也服从正态分 布，再由要点1求出S的概率密度。解析：E(S) = 5 E(T) 32 = 59 (98.6 32) = 37D(s)=D(T)=Hx 2=-811( y37)22 50 81所以随机变量S的概率密度为f ( y) =_s
6、2 兀v5F8T_812ioo(y3) ,(g y +g)例3灯泡厂生产的白炽灯寿命E (单位：h),已知EN (1000，302)，要使灯泡的平均 寿命为1000 h的概率为99.7%，问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？解题思路：进行假设检验的方法与步骤：(1) 提出统计假设，具体问题里的统计假设服从正态分布N (p，o 2)；(2) 确定一次试验a值是否落入(|J 3o，p +3o );(3) 作出判断：如果a e (p-3o,卩+ 3。)，就接受假设；如果a电(卩-3。，卩+ 3。)，由于这是小概率事件，就拒绝假设，说明生产过程中出现了异常情况解析：解：因为灯泡寿命N(1000,
7、 302)，故在(1000 3X30, 1000 + 3X30)内取值 的概率为99.7%，即在(910， 1090)内取值的概率为99.7%，故灯泡的最低使用寿命应控 制在910h以上【名师指引】正态总体在(p 3o , p +3o )以外的概率只有千分之三，这是一个很小的 概率这样我们在研究问题时可以集中在(p 3o , p +3o )中研究，而忽略其中很小 的一部分，从而简化了正态正态中研究的问题【新题导练】1.正态总体为卩二0,Q=-1概率密度函数f (x)是()A. 奇函数B.偶函数C.非奇百偶函数D.既是奇函数又是偶函数 答案:B2.如果随机变量 E N C，a 2), E = 3
8、, D = 1，则 P (-1 1)等于()A. 2(4) - 1B.(4)(2)C.(4)D.(-4)-(-2)答案:B解析：这里的卩=Eg = 3, a = (DE = 1(x 由换算关系式F(x)二一匕，有I a 丿P (- 1 g 1) = P(x 1)- P(x G12 12Cp p ,G VG12 12Dp p ,G G12 12答案:AG2)(G 0)和 N(p , G2)(G 0)的密度1 1 2 2 26 ( 湖南省十二校 2008 届高三第一次联考) 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学(x80)2成绩服从正态分布，其密度函数为f (x) =e 2oo (x e R)
9、，则下列命题不正J2兀-10确的是 ( )A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分；B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同;C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同;D. 该市这次考试的数学成绩标准差为10.答案：B 综合拔高训练7.(河南省许昌市2008年上期末质量评估)设随机变量服从正态分布N(0, 1),记Q (x) =p(E c +1) = P(g c 一1)，则c=()A.1B.2C.3D.4答案:B9(东北区三省四市2008年第一次联合考试)某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩卩二480，标准差b二
10、100，总体服从正态 分布，若全市重点校录取率为40%,那么重点录取分数线可能划在(已知卩(0.25)=0.6)A. 525 分B. 515 分C. 505 分D. 495 分答案：C10.已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机 抽查了10个零件，测得它们的尺寸为： 27.34 、27.49、27.55、27.23 、 27.40 、 27.46、27.38、27.58、27.54、27.68 +请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定在非正常状态下生产的*解：小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思想我们对落在区间(27.45-3 X0.05, 27.45+3X0.05) = (27.3, 27.6)之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常 状态下生产的假设有两个零件不符合落在区间(27.3，27.6)之内； 答：尺寸为 27.23 和尺寸为 27.68 的两个零件，它们是在非正常状态下生产的
